The Truth Untold

Tiếp tuyến tại $A$ với $\left(O\right)$ cắt đường thẳng $EH$ tại $K$. $AC,EG,FH$ đồng quy tại $L$. Tiếp điểm của $\left(J\right),\left(I\right)$ với $AC$ lần lượt tại $M,N$.

Áp dụng định lí $Pascal$ cho bộ điểm $\begin{pmatrix} A&H&E \\ C&G&F \end{pmatrix}$, ta có: $I,L,J$ thẳng hàng.

Áp dụng định lí $Pascal$ cho bộ điểm $\begin{pmatrix} A&H&G \\ E&A&C \end{pmatrix}$, ta có: $K,J,L$ thẳng hàng.

Suy ra $K,I,L,J$ thẳng hàng. 

Áp dụng định lí sin cho tam giác $CJL,CIL$, ta có: $\frac{JL}{sinACH}=\frac{JC}{sinCLJ};\frac{IL}{sinACE}=\frac{IC}{sinCLI}$

Suy ra $\frac{JL}{IL}=\frac{sinACH}{sinACE}.\frac{JC}{IC}$.

Áp dụng định lí $Menelaus$ cho tam giác $CEH$, cát tuyến $KIJ$, ta có: $\frac{JC}{JH}.\frac{IE}{IC}.\frac{KH}{KE}=1$

Suy ra $\frac{JC}{IC}=\frac{JH}{KH}.\frac{KE}{IE}$.

Áp dụng định lí sin cho tam giác $ACH,ACE$, ta có: $\frac{AH}{sinACH}=\frac{AC}{sinAHC}=\frac{AC}{sinAEC}=\frac{AE}{sinACE}$

Suy ra $\frac{sinACH}{sinACE}=\frac{AH}{AE}$.

Lại có $H,E$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AJD,AIB$, suy ra $JH=AH,IE=AE$.

Vậy $\frac{JL}{IL}=\frac{AH^{2}}{AE^{2}}:\frac{KH}{KE}=1$ hay $JL=IL$.

Khi đó $\Delta JLM=\Delta ILN$, suy ra $JM=IN$.

Vậy ta có đpcm.

 Capture4.PNG   36.13K   29 Số lần tải

$$ABDC$$