Song Binh

Đặt $a=\sqrt{4-x}$, $b= \sqrt{4x+1}$ $(a,b \geq 0)$

Ta có: $4a^{2}+b^{2} = 17$ 

pt $\Leftrightarrow$$\frac{1+2a^{2}}{a}+ \frac{2+b^{2}}{b}=\frac{15}{2}$

   $\Leftrightarrow \frac{1}{a}$ + $\frac{2}{b}+2a+b=\frac{15}{2}$ $\Leftrightarrow \frac{2a+b}{ab}+ (2a+b) = \frac{15}{2} \Leftrightarrow (2a+b)(\frac{1}{ab}+1)=\frac{15}{2} \Leftrightarrow (2a+b)(\frac{4}{(2a+b)^{2}-17}+1) = \frac{15}{2}$

Đặt t=2a+b ta được phương trình bậc 3 ẩn t, giải tìm t, sau đó giải tìm được giá trị của a,b.............

ý c)

     $\angle HNE = \angle HAM = \angle HBE \Rightarrow HEBN$ nội tiếp. 

    $\Rightarrow \angle EHB = \angle MNB = \angle MCB \Rightarrow$ HE song song vs CM

$\frac{x+y}{\sqrt{x(2x+y)}+ \sqrt{y(2y+x)}} = \frac{\sqrt{3}(x+y)}{\sqrt{3x(2x+y)}+ \sqrt{3y(2y+x)}} \geq \frac{2\sqrt{3}(x+y)}{3x+2x+y+3y+2y+x} = \frac{2\sqrt{3}(x+y)}{6(x+y)} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y$

Câu II 2.

Từ giả thiết ta có được $\frac{1}{(a+1)(b+1)}+\frac{1}{(c+1)(b+1)}+\frac{1}{(a+1)(c+1)}=1$

 Đặt $a+1=\frac{\sqrt{3}}{x}, b+1=\frac{\sqrt{3}}{y},c+1=\frac{\sqrt{3}}{z}$

Giả thiết trở thành $xy+yz+zx=3$ và

$P= \sqrt{3} ( \frac{1}{\frac{3}{x}+x} +\frac{1}{\frac{3}{y}+y} +\frac{1}{\frac{3}{z}+z})$

   $= \sqrt{3} (\frac{x}{x^{2}+3}+\frac{y}{y^{2}+3}+\frac{z}{z^{2}+3})$

Sử dụng giả thiết ta có

  $P=\sqrt{3}( \frac{x}{(x+y)(x+z)}+ \frac{y}{(x+y)(y+z)}+ \frac{z}{(z+y)(x+z)})$

    $=\sqrt{3}( \frac{2(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)})$

Mặt khác $(x+y)(y+z)(z+x) \geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx) \geq \frac{8}{3}(xy+yz+zx)$

Suy ra $P \leq \sqrt{3}\frac{3}{4}= \frac{3\sqrt{3}}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c = \sqrt{3}-1$                                                      

Đoạn này $(x+y)(y+z)(z+x) \geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx) \geq \frac{8}{3}(xy+yz+zx)$ hình như phải là thế này chứ: Mặt khác $(x+y)(y+z)(z+x) \geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx) \geq \frac{8}{3}(x+y+z)$ vì có  $xy+yz+zx=3$ mà

Mình nghĩ đoạn sau nên thế này: 

$3=xy+yz+xz \leq \frac{(x+y+z)^2}{3} \Rightarrow (x+y+z)^2 \geq 9 \Rightarrow x+y+z\geq 3 \Rightarrow (x+y)(y+z)(x+z)\geq 8 \Rightarrow M\leq \sqrt{3}.\frac{2.3}{8} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

Cậu hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x-2y=\frac{2}{x}-1 & & \\ x^{2}-\frac{4}{x^{2}}+1 = 4y(x-y)& & \end{matrix}\right.$

Từ phương trình dưới ta có: 

     $x^{2} -\frac{4}{x^{2}} +1 = 4y(x-y) $

$\Leftrightarrow (x^{2} - 4xy + 4y^{2}) +1- \frac{4}{x^{2}} = 0 $

$\Leftrightarrow (x-2y)^{2} + 1- \frac{4}{x^{2}} = 0$     (*)

Thay phương trình trên vào (*) ta có: 

     $(\frac{2}{x}-1)^{2}+1-\frac{4}{x^{2}} = 0 $

$\Leftrightarrow \frac{4}{x^{2}} - \frac{4}{x} +1 +1 - \frac{4}{x^{2}} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{4}{x} = 2$

$\Leftrightarrow x=2$ $ \rightarrow y=1 $