Đến nội dung

Song Binh

Song Binh

Đăng ký: 01-10-2018
Offline Đăng nhập: 20-05-2019 - 14:29
-----

#720958 HSG TỈNH HƯNG YÊN 2019

Gửi bởi Song Binh trong 18-03-2019 - 20:24

Cậu hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x-2y=\frac{2}{x}-1 & & \\ x^{2}-\frac{4}{x^{2}}+1 = 4y(x-y)& & \end{matrix}\right.$

Từ phương trình dưới ta có: 

     $x^{2} -\frac{4}{x^{2}} +1 = 4y(x-y) $

$\Leftrightarrow (x^{2} - 4xy + 4y^{2}) +1- \frac{4}{x^{2}} = 0 $

$\Leftrightarrow (x-2y)^{2} + 1- \frac{4}{x^{2}} = 0$     (*)

Thay phương trình trên vào (*) ta có: 

     $(\frac{2}{x}-1)^{2}+1-\frac{4}{x^{2}} = 0 $

$\Leftrightarrow \frac{4}{x^{2}} - \frac{4}{x} +1 +1 - \frac{4}{x^{2}} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{4}{x} = 2$

$\Leftrightarrow x=2$ $ \rightarrow y=1 $




#718688 Cực trị

Gửi bởi Song Binh trong 25-12-2018 - 22:03

1. Tìm GTLN của $A=x^{2}(y-z)+y^{2}(z-y)+z^{2}(1-z)$ với $0\leqslant x\leqslant y\leqslant z\leqslant 1$.

2. Cho a, b là số thực dương thỏa mãn a+b=1.

Tìm GTNN của $M=\frac{2}{ab}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{4}+b^{4}}{2}$

3. Cho x, y là số thực dương thỏa mãn x+y=1.

Tìm GTLN của $A=x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}$.

Câu 2 nè

Ta có: $ab \leq (\frac{a+b}{2})^2 = \frac{1}{4} => \frac{1}{ab} \geq 4$

$\frac{1}{2ab}+ \frac{1}{a^2+b^2} \geq \frac{4}{(a+b)^2} = 4$

$\frac{a^4+b^4}{2} = \frac{a^4+b^4+\frac{1}{16} + \frac{1}{16}}{2}- \frac{1}{16} \geq \frac{ab}{2}-\frac{1}{16}$ (Dùng BĐT Cauchy cho 4 số dương)

Suy ra M = $\frac{2}{ab}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{4}+b^{4}}{2} = (\frac{1}{a^{2}+b^{2}} +\frac{1}{2ab})+ \frac{3}{2ab} + \frac{ab}{2} - \frac{1}{16} = (\frac{1}{a^{2}+b^{2}} +\frac{1}{2ab}) + (\frac{ab}{2} + \frac{1}{32ab})+ \frac{47}{32ab} - \frac{1}{16} \geq 4 + \frac{1}{4} + \frac{47}{32}\times 4 - \frac{1}{16} = \frac{161}{16}$

  Dấu bằng xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$

Vậy GTNN của M là $\frac{161}{16}$




#718634 Tính tổng x+y+xy

Gửi bởi Song Binh trong 23-12-2018 - 16:07

Ta có: $\sqrt{10x}+\sqrt{6y} =\sqrt{4+\sqrt{15}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{8+ 2\sqrt{15}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(\sqrt{3}+ \sqrt{5})^2} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$

   <=> $\sqrt{3}+\sqrt{5} = 2\sqrt{5x} +2\sqrt{3y}$ <=> $\sqrt{3} + \sqrt{5} = \sqrt{5}\sqrt{4x}+ \sqrt{3}\sqrt{4y}$

  => $\left\{\begin{matrix} \sqrt{4x}=1\\ \sqrt{4y}=1 \end{matrix}\right.$  

 => $\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{4}\\ y=\frac{1}{4} \end{matrix}\right.$

=> $x+y+xy = \frac{1}{4}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{4}\times \frac{1}{4} = \frac{9}{16}$

 Cách làm này mình làm với x,y nguyên.




#718632 Cực trị

Gửi bởi Song Binh trong 23-12-2018 - 15:37

Câu 3 nhé bạn: 

 Ta có: $x\sqrt{1+y} + y\sqrt{1+x} = \sqrt{x}\sqrt{x+xy} + \sqrt{y}\sqrt{y+xy}$

 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: $\sqrt{x}\sqrt{x+xy} + \sqrt{y}\sqrt{y+xy} \leq \sqrt{(x+y)[(y+xy)+(x+xy)]} = \sqrt{1+2xy}$

                    (Do $x+y =1$ và $x,y>0$ )

Áp dụng bất đẳng thức phụ: $ab \leq (\frac{a+b}{2})^2$ 

    => $A \leq \sqrt{1+2xy} \leq \sqrt{1+2(\frac{x+y}{2})^2} = \sqrt{1+2(\frac{1}{2})^2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Vậy $A \leq \frac{\sqrt{6}}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=\frac{1}{2}$




#718621 CMR:DN vuông góc MN

Gửi bởi Song Binh trong 23-12-2018 - 09:53

Gọi E là trung điểm  của AC. => EM là đường trung bình của tam giác ABC. => EM song song với AB.

Qua N kẻ đường song song với AB cắt BM tại G => NG vuông góc với BM và NG song song với AB và EM => GB=GM => NG là đường trung tuyến của tam giác NBM. => Tam giác NBM cân tại N => Góc NMB = Góc NBM (1)

Mặt khác ta lại có góc NDC = góc NBM => Kết hợp với (1) ta được góc NDC = góc NMB => Tứ giác NDCM nội tiếp => Góc DNM = 180 độ - góc DCM => góc DNM = 90 độ => DN vuông góc với NM. 




#717089 Bài toán khó cần có Dirichlet

Gửi bởi Song Binh trong 31-10-2018 - 15:45

Trong một hình vuông có cạnh bằng 6, ta có một số các đường tròn có tổng chu vi bằng 2018. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng cắt ít nhất 108 đường tròn trong chúng.

    ( Đề thi HSG tỉnh Sơn La 2017-2018)




#716552 giải hệ phương trình:

Gửi bởi Song Binh trong 14-10-2018 - 10:41

$[x(x+2)][y(y+2)]=9$Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} xy(x+2)(y+2)=9 & \\ x^{2}+y^{2}+2(x+y)=6 & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} [x(x+2)][y(y+2)]=9 & \\ x(x+2)+y(y+2)=6& \end{matrix}\right.$

Đặt a=x(x+2) ; b=y(y+2)

Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} ab=9 & \\ a+b=6& \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình với ẩn a,b và sau đó tìm được x,y