sanji123

Cho mot lop gom 35 hoc sinh, cac hoc sinh nay to chuc mot so cau lac bo mon hoc.Moi hoc sinh tham gia dung 1 cau lac bo.

Neu chon 10 hoc sinh bat ki luon chon duoc 3 hoc sinh cung tham gia 1 cau lac bo.

Chung minh co 1 cau lac bo gom it nhat 9 hoc sinh

giải thích rõ giúp mình dòng kế cuối được không ạ, chỗ áp dụng bdt Cauchy ?

cauchy-schawrs nhe

bdt schwars van duoc goi la cauchy nhe nhe goi theo cum cauchy-schwars

ta có

24(1/x^2+1/y^2+1/z^2)+2<=3+2(1/x+1/y+1/z)

ta có

24(1/x^2+1/y^2+1/z^2)+2=24(1/x^2+1/y^2+1/z^2+1/12)

ad cosi cho 2 so duong co 1/x^2 +1/36>=1/3x

tuong tu co 1/y^2+1/36>=1/3y

                    1/z^2+1/36>=1/3z

nên 3+2(1/x+1/y+1/z)>=8(1/z+1/y+1/x)

hay  1/x+1/y+1/z<=1/2

ta có 2042^2.P<=2042(1/x+1/y+1/z) (ad bđt cauchy) hay P<=1/4084.

dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=6

Gọi biểu thức cần chứng minh là P

ta có a^3+b^3>=ab(a+b) nên a^3+b^3+1>=ab(a+b)+abc=ab(a+b+c) hay 1/a^3+b^3+1<=1/ab(a+b+c)=c/a+b+c.

chứng minh tương tự suy ra

P<=1.

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.

Đặt f(│x│)=t.

Phương trình đã cho trở thành:

t² –(m-3)t+m-4=0 (1)

Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm

t phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng 1 và một nghiệm lớn hơn -3 nhỏ hơn 1.

Ta có (1) có

             =(m-3)²-4(m-4)=(m-5)²

Để phương trình (1) có 2 nghiệm t thì m phải khác 5.

Mà ta thấy  phương trình luôn có 1 nghiệm bằng 1 để (1) có thêm một nghiệm lớn hơn -3 và nhỏ hơn 1 nên:

               f(-3)>0 và f(1)<0 hay -1/4<m<4 suy ra có 4 giá trị nguyên thỏa mãn đề bài.

Chọn D.

do a+b+c=1 nên

a+bc/b+c=(a+c)(a+b)/(b+c).

tương tự có:

b+ac/c+a=(b+a)(b+c)/c+a

c+ab/a+b=(c+a)(c+b)/a+b

khi đó bđt tương đương:

A=(a+c)(a+b)/b+c + (b+a)(b+c)/c+a  (c+a)(c+b)/a+b=2.

AD bđt phu  x^2+y^2+z^2>=xy+yz+xz

thi có a>=2(a+b+c)=2.

dau=xay ra khi va chi khi a=b=c=1/3