t1k28CHT

1. Tính $A=1.1!+2.2!+3.3!+...+n.n!$

2. Tính $B=\frac{4.1}{4.1^{4}+1}+\frac{4.2}{4.2^{4}+1}+\frac{4.3}{4.3^{4}+1}+...+\frac{4.n}{4.n^{4}+1}$

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn $ab+bc+ca\leqslant 3abc$. Chứng minh rằng:

$\frac{a^{4}b}{2a+b}+\frac{b^{4}c}{2b+c}+\frac{c^{4}a}{2c+a}\geqslant 1$.

Cho a, b, c >0 và $(a+b-c)^{2}=ab$.Tìm GTNN của

$\frac{c^{2}}{(a+b-c)^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}$

1. Giải các pt sau:

a,$x^{2}=y^{2}+\sqrt{y+1}(x, y\in \mathbb{N})$

b, $\sqrt{\frac{1-x}{x}}=\frac{2x+x^{2}}{1+x^{2}}$

c, $x^{4}+2x^{3}+2x^{2}-2x+1=(x^{3}+x)\sqrt{\frac{1-x^{2}}{x}}$.

2.Giải hệ pt:

a,$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{x}-8\sqrt{y}=\sqrt{x}+y\sqrt{y}\\ x-y=5 \end{matrix}\right.$

b, $\left\{\begin{matrix} y^{3}=x^{3}+2x^{2}+1\\ xy=z^{2}+2 \end{matrix}\right.(x, y, z\in \mathbb{Z})$

1. Tìm GTLN của $A=x^{2}(y-z)+y^{2}(z-y)+z^{2}(1-z)$ với $0\leqslant x\leqslant y\leqslant z\leqslant 1$.

2. Cho a, b là số thực dương thỏa mãn a+b=1.

Tìm GTNN của $M=\frac{2}{ab}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{4}+b^{4}}{2}$.

3. Cho x, y là số thực dương thỏa mãn x+y=1.

Tìm GTLN của $A=x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}$.

I. Phần điền kết quả:

Câu 1: Tính giá trị của biểu thức $P= \frac{x{\sqrt{x}+1}}{x-\sqrt{x}+1}+\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)$ tại $x=3-2\sqrt{2}$.

Câu 2: Với giá trị nào của x thì căn thức $\sqrt{5-x^{2}}$ có nghĩa?

Câu 3:Tính tổng $S=\cos ^{2}1^{0}+\cos ^{2}2^{0}+\cos ^{2}3^{0}+...+\cos ^{2}89^{0}.$

Câu 4: Tìm nghiệm của phương trình $\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}=3.$

Câu 5: Biết rằng $(\sqrt{a}+\frac{1}{2})^{2}=1$ và $(\sqrt{b}-\frac{1}{2})^{2}=1$. Tính giá trị của $\sqrt{a}-\sqrt{b}$.

Câu 6: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: $\sqrt{x+4\sqrt{3}}=y+\sqrt{3}.$

Câu 7: Tứ giác ABCD có AB//CD và AC vuông góc với BD, AC= 6cm và BD= 8cm. Tính khoảng cách từ B đến CD.

Câu 8: Cho $\Delta A B C$ có AB=6cm, AC=8cm và $\widehat{BAC}=60^{^{0}}$. TÍnh độ dài cạnh BC.

Câu 9: TÍnh giá trị của biểu thức $P=\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}.$

Câu 10: Cho $\Delta A B C$ vuông tại A. Biết rằng AB:AC=5:6, đường cao AH=30cm. Tính độ dài đoạn HB.

II.Phần tự luận:

Câu 11. Giải phương trình $\sqrt{2x-3}-\sqrt{x+1}=x-4$.

Câu 12: Tìm GTNN, GTLN của biểu thức $M=6\sqrt{x-3}+8\sqrt{5-x}$.

Câu 13. Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và $\widehat{BAD}=150^{0}$.Lấy E trên BC sao cho$\widehat{BAE}=30^{0}$. Tia AE cắt đường thẳng CD tại F.Chứng minh $\frac{1}{AE^{2}}+\frac{1}{AF^{2}}=\frac{4}{a^{2}}$.

Câu 14. Cho bảng ô vuông 9x6. Mỗi ô vuông có 1 viên bi. Thực hiện trò chơi sau: mỗi lần cho phép lấy ra 2 viên bi ở 2 ô vuông nào đó rồi chuyển chúng sang các ô liền kề (hai ô liền kề là hai ô có chung một cạnh). Hỏi sau một số lần chơi ta có thể chuyển hết số viên bi vào 1 ô vuông được hay không? Vì sao?

1. Cho 10 điểm phân biệt, không có 3 điểm nào thẳng hàng và nằm trong một tam giác đều, cạnh bằng 2. Chứng minh rằng luôn tìm được 3 điểm trong 10 điểm đã cho sao cho 3 điểm này là đỉnh của một tam giác có diện tích không vượt quá $\frac{\sqrt{3}}{3}$ và có ít nhất một góc không lớn hơn 45 độ.

2. Một dãy nhà có 19 phòng. Ban đầu mỗi phòng có một người. Sau đó, cứ mỗi ngày có 2 người nào đó chuyển sang 2 phòng bên cạnh nhưng theo chiều ngược nhau. Hỏi sau một số ngày có hay không trường hợp:

    a, Không có ai ở phòng có số thứ tự chẵn.

    b, Có 10 người ở phong 19.

3. Trên mặt phẳng cho 2018 điểm sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Có 1009 điểm tô màu đỏ và 1009 điểm tô màu xanh. Chứng minh rằng tồn tại 1 cách nối 1009 đoạn thẳng đôi một không cắt nhau mà 2 đầu mút là 2 màu khác nhau.

Phương trình vô tỉ là một trong những lớp quan trọng của lí thuyết phương trình và bất phương trình nói chung. Vì vậy mình lập ra topic này để mọi người cùng thảo luận nhằm nâng cao kiến thức về loại phương trình này nhé. Mình xin bắt đầu với bài toán sau:

Giải phương trình: $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{3-x}}+x=2\sqrt{x}-\frac{1}{2}$.

1. Tìm a, b, c$\epsilon \mathbb{Q}$ thỏa mãn: $a+b\sqrt{c}=\sqrt[3]{2}$.

2. Chứng minh rằng $\left ( x+\sqrt{2008} \right )^{n}=\sqrt{89+2\sqrt{2008}}$ không có nghiệm hữu tỉ.

3.Tìm $a,b,c\epsilon \mathbb{N}$ thỏa mãn:

             $\frac{4}{a}+\sqrt[3]{4-b}=\sqrt[3]{b+4\sqrt{b}+4}+\sqrt[3]{4-4\sqrt{b}+b}$.

A=$\left ( \frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}} \right ):\frac{\sqrt{x}+1}{x}$

  =$\left (\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}} \right ).\frac{x}{\sqrt{x}+1}$

  =$\frac{x+1}{\sqrt{x}}.\frac{x}{\sqrt{x}+1}$

  =$\frac{x+1).\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}$

a, ĐKXĐ: x>0, $x\neq 1$