Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Marshmello

Đăng ký: 01-11-2018
Offline Đăng nhập: 25-10-2019 - 20:08
****-

#722783 Bất Đẳng Thức

Gửi bởi Marshmello trong 05-06-2019 - 20:27

Đề hình như phải cho ĐK : a > b > 0 

 Ta có : $\sqrt{a^2-b^2} + \sqrt{2ab-b^2} > a$

 $\Leftrightarrow$ $(\sqrt{a^2-b^2} + \sqrt{2ab-b^2})^2 > a^2$

$\Leftrightarrow a^2 - 2b^2 + 2ab + 2\sqrt{(a^2-b^2)(2ab-b^2)} > a^2$

$\Leftrightarrow 2b(a-b) + 2\sqrt{(a^2-b^2)(2ab-b^2)} > 0$ 

( đúng với mọi a > b > 0 )

=> BĐT được c/m 




#722701 cho ab+bc+ca=1

Gửi bởi Marshmello trong 03-06-2019 - 22:55

Với a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

$P=\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}-\frac{1}{1+c^2}$

Do ab + bc + ac = 1 => (a+b)c = 1 - ab

=> c = 1-ab/a+b

=> c^2 + 1 = (a^2+1)(b^2+1)/(a+b)^2

=> 1/c^2+1 =  (a+b)^2/(a^2+1)(b^2+1)

Có : a/a^2+1  + b/b^2+1  - 1/c^2+1

= a/a^2+1  + b/b^2+1  -  (a+b)^2/(a^2+1)(b^2+1)

= a(b^2+1) + b(a^2+1) - (a+b)^2 / (a^2+1)(b^2+1)

= ab^2 + a + ba^2 + b - (a+b)^2 / (a^2+1)(b^2+1)

= (ab+1)(a+b) - (a+b)^2 / (a^2+1)(b^2+1)

= (a-1)(b-1)(a+b)/(a^2+1)(b^2+1)

Áp dụng BĐT Cô - si , ta có : 

(a-1)(b-1)(a+b) $\leq \frac{[(a-1)(b-1)+a+b]^2}{4} = \frac{(ab+1)^2}{4}$

(a^2+1)(b^2+1) $\geq (ab+1)^2$

$\Rightarrow P $\leq$\frac{1}{4}$




#722666 Tìm GTNN $P=\frac{x+y}{\sqrt{x\left (...

Gửi bởi Marshmello trong 01-06-2019 - 21:53

Cho x,t là hai số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$P=\frac{x+y}{\sqrt{x\left ( 2x+y \right )}+\sqrt{y\left ( 2y+x \right )}}$

Giải giúp mình bài này với

 

 

Admin: Bạn chú ý cách đặt tiêu đề nhé!

Với x ; y dương ,  áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số dương , ta có : 

$\sqrt{3x(2x+y)} \leq \frac{3x+2x+y}{2} = \frac{5x+y}{2} \Rightarrow \sqrt{x(2x+y)} \leq \frac{5x+y}{2\sqrt{3}}$

Tương tự : $\sqrt{y(2y+x)} \leq \frac{5y+x}{2\sqrt{3}}$ 

=> $\sqrt{x(2x+y)} + \sqrt{y(2y+x)} \leq \frac{6x+6y}{2\sqrt{3}}$

$\Rightarrow P \geq \frac{x+y}{\frac{6x+6y}{2\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Dấu " = " xảy ra <=> x = y 




#722514 Đề tuyển sinh chuyên KHTN vòng 1 + vòng 2 năm 2019 - 2020.

Gửi bởi Marshmello trong 26-05-2019 - 21:42

Cop được : 

 

 

61567222_2186360908151905_88681657645955




#722113 Đề thi học kì

Gửi bởi Marshmello trong 10-05-2019 - 15:48

Bài 5 : 

Ta có : a + b + c + ab + bc + ac = 6abc

=> 1/ab + 1/bc + 1/ac + 1/a + 1/b + 1/c = 6

Đặt 1/a = x ; 1/b = y ; 1/c = z ( x ; y ; z dương ) 

Đề bài đã cho trở thành : Cho x ; y ; z dương thỏa mãn : 

x + y + z + xy + yz + xz = 6

C/m : x^2 + y^2 + z^2 >= 3

AD BĐT Cô - si cho các cặp số dương , ta có : 

x^2 + 1 >= 2x ; y^2 + 1 >= 2y ; z^2 + 1 >= 2z

=> x^2 + y^2 + z^2 + 3 / 2  >= (x+y+z)(1) 

Tiếp tục AD BĐT Cô - si , ta có : 

x^2 + y^2 >= 2xy ; y^2 + z^2 >= 2yz ; x^2 + z^2 >= 2xz

=> 2(x^2+y^2+z^2) >= 2xy + 2yz + 2xz

=> x^2 + y^2 + z^2 >= xy + yz + xz (2)

Từ (1) ; (2)

=> 3(x^2+y^2+z^2+1)/2   >= xy + yz + xz + x + y +z = 6

=> x^2 + y^2 + z^2 + 1 >= 4

=> x^2 + y^2 + z^2 >= 3

hay 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 >= 3 

Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 1 

<=> a = b = c = 1 




#722112 Đề thi học kì

Gửi bởi Marshmello trong 10-05-2019 - 15:32

Đặt a = x ; 2b = y ; 2c = z

=> x + y + z = 6 ;  xy = 2ab ; xz = 2ac ; yz = 4bc

Áp dụng BĐT Cô-si cho các cặp số ko âm , ta có : 

x^2 + y^2 >= 2xy

y^2 + z^2 >= 2yz

x^2 + z^2 >= 2xz

=> x^2 + y^2 + z^2 >= xy + yz + xz

=> (x+y+z)^2 >= 3(xy+yz+xz)

=> 36 >= 3(xy+yz+xz)

=> xy + yz + xz =< 12

hay 2ab + 2ac + 4bc =< 12

=> ab + ac + 2bc =< 6

Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z ; x + y + z = 6

<=> a = 2b = 2c ; a + 2b + 2c = 6

<=> a = 2 ; b = 1 ; c = 1

Vậy ... 




#720893 cauchy nguoc dau

Gửi bởi Marshmello trong 15-03-2019 - 19:45

Bn giải hộ mik bài này với . Cảm ơn :

Cho 2 đa thức P(x) = $x^5 - 5x^3 + 4x + 1 ; Q(x) = 2x^2 + x - 1$ . Gọi x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 là các nghiệm của P(x) . Tính g/t của Q(x1) . Q(x2) . Q(x3) . Q(x4) . Q(x5)  :icon6:




#720530 đề thi hsg toán 9 tỉnh

Gửi bởi Marshmello trong 28-02-2019 - 20:32

Áp dụng BĐT phụ 2(x^4+y^4) >= (x+y)(x^3+y^3) vào bài toán , ta có : 

a^4 + b^4 / ab(a^3+b^3) >= (a+b)(a^3+b^3)/2ab(a^3+b^3)  = a+b/2ab (1)

Tương tự : b^4+c^4/bc(b^3+c^3) >= b+c/2bc (2)

c^4+a^4/ac(a^3+c^3) >=  a+c/2ac (3)

Từ (1) ; (2) ; (3) 

=> a^4+b^4/ab(a^3+b^3)  + b^4+c^4/bc(b^3+c^3)  + c^4+a^4/ac(a^3+c^3) >= a+b/2ab + b+c/2bc + a+c/2ac

= 1/2(1/a + 1/b + 1/c + 1/b + 1/a + 1/c)

= 1/a + 1/b + 1/c

= ab + bc + ac / abc  = 1 

Dấu " = " xảy ra <=> a = b = c  




#718547 $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} +\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} +...

Gửi bởi Marshmello trong 20-12-2018 - 16:42

$$\sum\limits_{\it{cyc}} \frac{\it{a}^{\,\it{2}}}{\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{ab}+ \it{b}^{\,\it{2}}}- \it{1}= \frac{\left ( \it{a}- \it{b} \right )^{\,\it{2}}}{\it{3}\left ( \it{a}^{\,\it{2}}+ \it{ab}+ \it{b}^{\,\it{2}} \right )}+ \frac{\left ( \it{b}- \it{c} \right )^{\,\it{2}}}{3\left ( \it{b}^{\,\it{2}}+ \it{bc}+ \it{c}^{\,\it{2}} \right )}+$$ $$+ \frac{\left ( \it{a}- \it{b} \right )\left ( \it{b}- \it{c} \right )\it{Q}}{\it{3}\left ( \it{a}^{\,\it{2}}+ \it{ab}+ \it{b}^{\,\it{2}} \right )\left ( \it{b}^{\,\it{2}}+ \it{bc}+ \it{c}^{\,\it{2}} \right )\left ( \it{c}^{\,\it{2}}+ \it{ca}+ \it{a}^{\,\it{2}} \right )}\geqq \it{0}$$
với $\it{b}= \text{mid}\left \{ \it{a},\,\it{b},\,\it{c} \right \},\,\it{Q}= \it{a}^{\,\it{3}}\it{b}+ \it{2}\,\it{a}^{\,\it{3}}\it{c}+ \it{2}\,\it{a}^{\,\it{2}}\it{b}^{\,\it{2}}+ \it{5}\,\it{a}^{\,\it{2}}\it{b}\it{c}+ \it{2}\,\it{c}^{\,\it{2}}\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{2}\,\it{a}\it{b}^{\,\it{2}}\it{c}- \it{ab}\it{c}^{\,\it{2}}- \it{a}\it{c}^{\,\it{3}}- \it{b}^{\,\it{2}}\it{c}^{\,\it{2}}- \it{2}\,\it{b}\it{c}^{\,\it{3}}$

Spoiler

Cái này lớp 8 chưa học mà bạn