Đến nội dung

Marshmello

Marshmello

Đăng ký: 01-11-2018
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

#722783 Bất Đẳng Thức

Gửi bởi Marshmello trong 05-06-2019 - 20:27

Đề hình như phải cho ĐK : a > b > 0 

 Ta có : $\sqrt{a^2-b^2} + \sqrt{2ab-b^2} > a$

 $\Leftrightarrow$ $(\sqrt{a^2-b^2} + \sqrt{2ab-b^2})^2 > a^2$

$\Leftrightarrow a^2 - 2b^2 + 2ab + 2\sqrt{(a^2-b^2)(2ab-b^2)} > a^2$

$\Leftrightarrow 2b(a-b) + 2\sqrt{(a^2-b^2)(2ab-b^2)} > 0$ 

( đúng với mọi a > b > 0 )

=> BĐT được c/m 




#722701 cho ab+bc+ca=1

Gửi bởi Marshmello trong 03-06-2019 - 22:55

Với a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

$P=\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}-\frac{1}{1+c^2}$

Do ab + bc + ac = 1 => (a+b)c = 1 - ab

=> c = 1-ab/a+b

=> c^2 + 1 = (a^2+1)(b^2+1)/(a+b)^2

=> 1/c^2+1 =  (a+b)^2/(a^2+1)(b^2+1)

Có : a/a^2+1  + b/b^2+1  - 1/c^2+1

= a/a^2+1  + b/b^2+1  -  (a+b)^2/(a^2+1)(b^2+1)

= a(b^2+1) + b(a^2+1) - (a+b)^2 / (a^2+1)(b^2+1)

= ab^2 + a + ba^2 + b - (a+b)^2 / (a^2+1)(b^2+1)

= (ab+1)(a+b) - (a+b)^2 / (a^2+1)(b^2+1)

= (a-1)(b-1)(a+b)/(a^2+1)(b^2+1)

Áp dụng BĐT Cô - si , ta có : 

(a-1)(b-1)(a+b) $\leq \frac{[(a-1)(b-1)+a+b]^2}{4} = \frac{(ab+1)^2}{4}$

(a^2+1)(b^2+1) $\geq (ab+1)^2$

$\Rightarrow P $\leq$\frac{1}{4}$




#722666 Tìm GTNN $P=\frac{x+y}{\sqrt{x\left (...

Gửi bởi Marshmello trong 01-06-2019 - 21:53

Cho x,t là hai số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$P=\frac{x+y}{\sqrt{x\left ( 2x+y \right )}+\sqrt{y\left ( 2y+x \right )}}$

Giải giúp mình bài này với

 

 

Admin: Bạn chú ý cách đặt tiêu đề nhé!

Với x ; y dương ,  áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số dương , ta có : 

$\sqrt{3x(2x+y)} \leq \frac{3x+2x+y}{2} = \frac{5x+y}{2} \Rightarrow \sqrt{x(2x+y)} \leq \frac{5x+y}{2\sqrt{3}}$

Tương tự : $\sqrt{y(2y+x)} \leq \frac{5y+x}{2\sqrt{3}}$ 

=> $\sqrt{x(2x+y)} + \sqrt{y(2y+x)} \leq \frac{6x+6y}{2\sqrt{3}}$

$\Rightarrow P \geq \frac{x+y}{\frac{6x+6y}{2\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Dấu " = " xảy ra <=> x = y 




#722514 Đề tuyển sinh chuyên KHTN vòng 1 + vòng 2 năm 2019 - 2020.

Gửi bởi Marshmello trong 26-05-2019 - 21:42

Cop được : 

 

 

61567222_2186360908151905_88681657645955




#722113 Đề thi học kì

Gửi bởi Marshmello trong 10-05-2019 - 15:48

Bài 5 : 

Ta có : a + b + c + ab + bc + ac = 6abc

=> 1/ab + 1/bc + 1/ac + 1/a + 1/b + 1/c = 6

Đặt 1/a = x ; 1/b = y ; 1/c = z ( x ; y ; z dương ) 

Đề bài đã cho trở thành : Cho x ; y ; z dương thỏa mãn : 

x + y + z + xy + yz + xz = 6

C/m : x^2 + y^2 + z^2 >= 3

AD BĐT Cô - si cho các cặp số dương , ta có : 

x^2 + 1 >= 2x ; y^2 + 1 >= 2y ; z^2 + 1 >= 2z

=> x^2 + y^2 + z^2 + 3 / 2  >= (x+y+z)(1) 

Tiếp tục AD BĐT Cô - si , ta có : 

x^2 + y^2 >= 2xy ; y^2 + z^2 >= 2yz ; x^2 + z^2 >= 2xz

=> 2(x^2+y^2+z^2) >= 2xy + 2yz + 2xz

=> x^2 + y^2 + z^2 >= xy + yz + xz (2)

Từ (1) ; (2)

=> 3(x^2+y^2+z^2+1)/2   >= xy + yz + xz + x + y +z = 6

=> x^2 + y^2 + z^2 + 1 >= 4

=> x^2 + y^2 + z^2 >= 3

hay 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 >= 3 

Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 1 

<=> a = b = c = 1 




#722112 Đề thi học kì

Gửi bởi Marshmello trong 10-05-2019 - 15:32

Đặt a = x ; 2b = y ; 2c = z

=> x + y + z = 6 ;  xy = 2ab ; xz = 2ac ; yz = 4bc

Áp dụng BĐT Cô-si cho các cặp số ko âm , ta có : 

x^2 + y^2 >= 2xy

y^2 + z^2 >= 2yz

x^2 + z^2 >= 2xz

=> x^2 + y^2 + z^2 >= xy + yz + xz

=> (x+y+z)^2 >= 3(xy+yz+xz)

=> 36 >= 3(xy+yz+xz)

=> xy + yz + xz =< 12

hay 2ab + 2ac + 4bc =< 12

=> ab + ac + 2bc =< 6

Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z ; x + y + z = 6

<=> a = 2b = 2c ; a + 2b + 2c = 6

<=> a = 2 ; b = 1 ; c = 1

Vậy ... 




#720893 cauchy nguoc dau

Gửi bởi Marshmello trong 15-03-2019 - 19:45

Bn giải hộ mik bài này với . Cảm ơn :

Cho 2 đa thức P(x) = $x^5 - 5x^3 + 4x + 1 ; Q(x) = 2x^2 + x - 1$ . Gọi x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 là các nghiệm của P(x) . Tính g/t của Q(x1) . Q(x2) . Q(x3) . Q(x4) . Q(x5)  :icon6:




#720530 đề thi hsg toán 9 tỉnh

Gửi bởi Marshmello trong 28-02-2019 - 20:32

Áp dụng BĐT phụ 2(x^4+y^4) >= (x+y)(x^3+y^3) vào bài toán , ta có : 

a^4 + b^4 / ab(a^3+b^3) >= (a+b)(a^3+b^3)/2ab(a^3+b^3)  = a+b/2ab (1)

Tương tự : b^4+c^4/bc(b^3+c^3) >= b+c/2bc (2)

c^4+a^4/ac(a^3+c^3) >=  a+c/2ac (3)

Từ (1) ; (2) ; (3) 

=> a^4+b^4/ab(a^3+b^3)  + b^4+c^4/bc(b^3+c^3)  + c^4+a^4/ac(a^3+c^3) >= a+b/2ab + b+c/2bc + a+c/2ac

= 1/2(1/a + 1/b + 1/c + 1/b + 1/a + 1/c)

= 1/a + 1/b + 1/c

= ab + bc + ac / abc  = 1 

Dấu " = " xảy ra <=> a = b = c  




#718547 $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} +\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} +...

Gửi bởi Marshmello trong 20-12-2018 - 16:42

$$\sum\limits_{\it{cyc}} \frac{\it{a}^{\,\it{2}}}{\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{ab}+ \it{b}^{\,\it{2}}}- \it{1}= \frac{\left ( \it{a}- \it{b} \right )^{\,\it{2}}}{\it{3}\left ( \it{a}^{\,\it{2}}+ \it{ab}+ \it{b}^{\,\it{2}} \right )}+ \frac{\left ( \it{b}- \it{c} \right )^{\,\it{2}}}{3\left ( \it{b}^{\,\it{2}}+ \it{bc}+ \it{c}^{\,\it{2}} \right )}+$$ $$+ \frac{\left ( \it{a}- \it{b} \right )\left ( \it{b}- \it{c} \right )\it{Q}}{\it{3}\left ( \it{a}^{\,\it{2}}+ \it{ab}+ \it{b}^{\,\it{2}} \right )\left ( \it{b}^{\,\it{2}}+ \it{bc}+ \it{c}^{\,\it{2}} \right )\left ( \it{c}^{\,\it{2}}+ \it{ca}+ \it{a}^{\,\it{2}} \right )}\geqq \it{0}$$
với $\it{b}= \text{mid}\left \{ \it{a},\,\it{b},\,\it{c} \right \},\,\it{Q}= \it{a}^{\,\it{3}}\it{b}+ \it{2}\,\it{a}^{\,\it{3}}\it{c}+ \it{2}\,\it{a}^{\,\it{2}}\it{b}^{\,\it{2}}+ \it{5}\,\it{a}^{\,\it{2}}\it{b}\it{c}+ \it{2}\,\it{c}^{\,\it{2}}\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{2}\,\it{a}\it{b}^{\,\it{2}}\it{c}- \it{ab}\it{c}^{\,\it{2}}- \it{a}\it{c}^{\,\it{3}}- \it{b}^{\,\it{2}}\it{c}^{\,\it{2}}- \it{2}\,\it{b}\it{c}^{\,\it{3}}$

Spoiler

Cái này lớp 8 chưa học mà bạn