Kitaro1006

Với a,b,c là ba số dương. Tìm GTLN

$P=\frac{4}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}-\frac{9}{(a+b)\sqrt{(a+2c)(b+2c)}}$

Ta luôn có: $\sqrt{2(x+y)} \geq \sqrt{x}+\sqrt{y}$. Dấu bằng xảy ra khi $x=y$

từ pt1 bạn đó suy ra 1 điều hiển nhiên mà 

$2=(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\frac{1}{\sqrt{x+3y}}+\frac{1}{\sqrt{y+3x}})\geq (\sqrt{x}+\sqrt{y})\frac{4}{\sqrt{x+3y}+\sqrt{y+3x}}\geq (\sqrt{x}+\sqrt{y})\frac{4}{\sqrt{2(x+3y+y+3x)}}=(\sqrt{x}+\sqrt{y})\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x+y}}$

<=> $\sqrt{2(x+y)}\geq \sqrt{x}+\sqrt{y}<=>x=y$

Từ (2) => $x^2+2x+9=4\sqrt{x+3}+\sqrt{19-3y}$

x=1 là nghiệm, chắc trục căn =))

dòng thứ 3 từ bất đẳng thức sao lại tương đương x=y được.

Ta có: $\frac{1+a}{1-a}=\frac{(a+b+c+a)}{(a+b+c)-a}=\frac{2a}{b+c}+1$.

Vì vậy, bất đẳng thức đã cho tương đương: $\sum \frac{2a}{b}-\frac{2a}{b+c}\ge 3\iff \sum \frac{ac}{b(b+c)}\ge \frac{3}{2}$.

Thật vậy: Ta có $\sum \frac{ac}{b(b+c)}=\sum \frac{a^2c^2}{abc(b+c)}\ge \frac{(ab+bc+ca)^2}{abc[2(a+b+c)]}=\frac{(ab+bc+ca)^2}{2abc}\ge \frac{3}{2}(1)$.

Ta có $(1)$ luôn đúng vì $(ab+bc+ca)^2\ge 3abc(a+b+c)\iff \sum (ab-bc)^2\ge 0$.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

cảm ơn anh 

a,b,c>0. a+b+c = 1                                             

$\frac{1+a}{1-a}+\frac{1+b}{1-b}+\frac{1+c}{1-c}\leqslant 2\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )$