Love is color primrose

$\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{c}}=\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{c}{2}}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{c}{2}}}\geq \frac{(1+1+1+1)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{\frac{c}{2}}+\sqrt{\frac{c}{2}}}$ (Theo BĐT Cauchy Shwars dạng Engel).

Mặt khác ta có BĐT: $a+b+c+d\leq 2\sqrt{(a^2+b^2+c^2+d^2)}$.

Do đó: $\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{c}}\geq \frac{(1+1+1+1)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{\frac{c}{2}}+\sqrt{\frac{c}{2}}}\geq \frac{16}{2(a+b+\frac{c}{2}+\frac{c}{2})}=8(a+b+c+d)$.

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=\frac{c}{2}$.

Đoạn gần cuối viết nhầm rồi bạn

Chuẩn hoá và áp dụng BĐT AM-GM:

$$\sum \frac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\sum \frac{bc}{\sqrt{a(a+b+c)+bc}}=\sum \frac{bc}{\sqrt{(a+b)(c+a)}}\le \sum \frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+a}\right)=\frac{3}{2}$$

 

Mình nghĩ nên đổi VP thành $\frac{3}{2}$

Bạn nhầm ở chỗ dùng bất đẳng thức ấy, bạn xem lại đi.

Bạn đánh lại đề đi --

* Lý thuyết:

Cho x_1,x₂,x₃,...,x_n thỏa mãn : g(x₁)+g(x₂)+.....+g(x_n)= k

Tìm GTLN, GTNN của P= f(x₁₎+ f(x₂)+ ......+ f(x_n)

- Phương pháp: Dự đoán GTLN,GTNN xảy ra khi x₁= x₂ =.....=x_n =a

Ta sẽ chứng minh: f(x) $\geq$ m.g(x)+ n

Thường dấu bằng xảy ra là điểm cực trị của hàm số h(x)= f(x) - ( m.g(x)+n)

Suy ra h'(x) = 0 , suy ra m = f'(a)/ g'(a), n= f(a)-m.g(a)

**sorry, mạng lag k đánh bình thường đc

Mình xin đề xuất một số bài sau:

$\boxed{\text{Bài 105}}$ Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=$3\sqrt{2}$. Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{\sqrt{x(3y+5z)}}+\frac{1}{\sqrt{y(3z+5x)}}+\frac{1}{\sqrt{z(3x+5y)}}\geq \frac{3}{4}$$

$\boxed{\text{Bài 106}}$ Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=3$. Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{x^{2}y+2}+\frac{1}{y^{2}z+2}+\frac{1}{z^{2}x+2}\geq 1$$

$\boxed{\text{Bài 107}}$ Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ac=11$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$$P = \frac{5a+5b+2c}{\sqrt{12(a^{2}+11)} +\sqrt{12(b^{2}+11)}+\sqrt{c^{2}+11}}$$