Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


toanND

Đăng ký: 15-12-2018
Offline Đăng nhập: 17-06-2019 - 22:47
-----

#723109 bất đẳng thức

Gửi bởi toanND trong 17-06-2019 - 12:51

Áp dụng BĐT $b^2+bc+c^2\geq\frac{3}{4}(b+c)^2$

Ta có $15\geq3a^2+4(b^2+bc+c^2)\geq3[a^2+(b+c)^2]\geq\frac{3}{2}(a+b+c)^2$

$\Rightarrow (a+b+c)^2\leq10\Rightarrow-\sqrt{10}\leq a+b+c\leq \sqrt{10}$

Từ đó ta có min , max

e tự tìm dấu = nhé




#723098 bất đẳng thức

Gửi bởi toanND trong 16-06-2019 - 22:23

BÀI 3. Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có $(a^2+b)(1+\frac{1}{b})\geq(a+1)^2$

Tương tự với các BĐT còn lại rồi nhân lại ta có $(a^2+b)(b^2+c)(c^2+a)\frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}\geq(a+1)^2(b+1)^2(c+1)^2$

$\Leftrightarrow (a^2+b)(b^2+c)(c^2+a)\geq abc(a+1)(b+1)(c+1)$

Dấu = xảy ra khi a =b =c 




#723048 bất đẳng thức

Gửi bởi toanND trong 14-06-2019 - 16:37

Ngưỡng mộ anh toanND quá, anh chỉ cho em cách học giỏi bđt với ạ

Kiếm sách với tài liệu mà đọc thôi e :ukliam2:




#723037 bất đẳng thức

Gửi bởi toanND trong 14-06-2019 - 13:22

Em cảm ơn anh toannd, bài 1 câu a anh có thể giải bằng cauchy dc k ah

Có thể dùng AM - GM (Cauchy) kiểu này : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq\frac{4}{a+b}; \frac{1}{ab}\geq\frac{4}{(a+b)^2}$

Áp dụng hai BĐT trên, ta biến đổi biểu thức P như sau:

$P=(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{ab})(1+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{cd})\geq[1+\frac{4}{a+b}+\frac{4}{(a+b)^2}][1+\frac{4}{c+d}+\frac{4}{(c+d)^2}]=[(\frac{2}{a+b}+1)(\frac{2}{c+d}+1)] ^2 ]$

Đặt $A=[(\frac{2}{a+b}+1)(\frac{2}{c+d}+1)]^2$

$\Rightarrow A=[\frac{4}{(a+b)(c+d)}+\frac{2}{a+b}+\frac{2}{c+d}+1]^2\geq[\frac{16}{(a+b+c+d)^2}+\frac{8}{a+b+c+d}+1]^2=625$

$\Rightarrow P\geq A\geq625$  ~O)




#722942 Chứng minh rằng B, E, R thẳng hàng.

Gửi bởi toanND trong 10-06-2019 - 21:25

Anh thấy có nhiều cách giải mà, đâu chỉ mỗi Pascal đâu !!

attachicon.gifScreenshot from 2019-06-10 21-18-36.png

Tại em thấy bài này trong bài tập về định lý Pascal nên mới tìm cách giải bằng Pascal nhưng lại chưa ra. Nhưng cũng cảm ơn a.




#722880 Cho x, y, z là các số dương

Gửi bởi toanND trong 09-06-2019 - 16:08

Đặt $P=\sum \frac{x^{3}+y^{3}}{x+2y}$. Ta áp dụng BĐT AM-GM như sau:

$\frac{x^{3}}{x+2y}+\frac{x^{3}}{x+2y}+\frac{(x+2y)^{2}}{27}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^{6}(x+2y)^{2}}{27(x+2y)^{2}}}=x^{2}$

$\frac{y^{3}}{x+2y}+\frac{y^{3}}{x+2y}+\frac{(x+2y)^{2}}{27}\geq y^{2}$

Cộng vế theo vế hai BĐT trên $\Rightarrow \frac{2(x^{3}+y^{3})}{x+2y}+\frac{2}{27}(x+2y)^{2}\geq x^{2}+y^{2}$

Làm tương tự với các BĐT còn lại rồi cộng vế theo vế ta được:

$2P+\frac{2}{27}\sum (x+2y)^{2}\geq 2\sum x^{2}$

Khai triển, chuyển vế các thứ ta có $P\geq \frac{22}{9}-\frac{4}{27}(xy+yz+zx)\geq \frac{22}{9}-\frac{4}{27}(x^{2}+y^{2}+z^{2})=2$

Dấu = xảy ra khi x = y = z = 1




#722873 chứng minh bất đẳng thức

Gửi bởi toanND trong 09-06-2019 - 08:25

Cách a cũng giống 

Sin99


#722862 BDT

Gửi bởi toanND trong 08-06-2019 - 16:49

mình nghĩ là có đk a,b,c không âm




#722861 chứng minh bất đẳng thức

Gửi bởi toanND trong 08-06-2019 - 16:22

Ta đi chứng minh BĐT sau : $\frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{18}{25}a+\frac{3}{50}$ với $a\geq 0$.

Sau khi thu gọn thì bất đẳng thức trên tương đương với $(3a-1)^{2}(4a+3)\geq 0$ luôn đúng với mọi a không âm.

Làm tương tự với các BĐT còn lại rồi cộng lại ta được đpcm. 

Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$




#722800 Chứng minh bất đẳng thức

Gửi bởi toanND trong 06-06-2019 - 16:59

$a+bc = (a+b+c)a+bc= (a+b)(a+c)$

$\Rightarrow \sum \frac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\sum \frac{bc}{\sqrt{(a+b)(b+c)}}\leq \frac{1}{2}\sum (\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c})=\frac{1}{2}\sum (\frac{bc}{a+b}+\frac{ca}{a+b})=\frac{1}{2}(a+b+c)=\frac{1}{2}$




#722765 Chứng minh BK chia đôi MF.

Gửi bởi toanND trong 05-06-2019 - 11:11

Capture 7.PNG

dễ thấy E là điểm chính giữa cung lớn BC nên E, O, M thẳng hàng và $EM\perp BC$.

Gọi I là giao điểm của FM với AC. Dễ thấy FM là đường thẳng Simson của tam giác ABC nên $EI \perp AC$.

Lại có $\widehat{FAE}=\widehat{FEI}\Rightarrow \Delta AEF=\Delta AEI\Rightarrow AF=AI,EF=EI$

do đó AE là trung trực của FI $\Rightarrow AK\perp FM$. (1)

MN là đường trung bình của tam giác ABC$\Rightarrow MN||AB\Rightarrow MK\perp EF$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra E là trực tâm của tam giác MFK $\Rightarrow EM\perp FK\Rightarrow FK||BM$

Suy ra FKMB là hình bình hành $\Rightarrow đpcm$




#722132 Chứng minh rằng số đo góc MPN luôn không đổi khi D thay đổi

Gửi bởi toanND trong 11-05-2019 - 12:27

Cho tam giác ABC, giả sử có điểm P nằm trong tam giác ABC sao cho góc BPC = góc CPA = góc APB. PB, PC theo thứ tự cắt CA, AB tại E, F. D là điểm di chuyển trên cạnh BC. Đường thẳng DF cắt đường thẳng AC tại M. Đường thẳng DE cắt đường thẳng AB tại N.

1. Chứng minh rằng số đo góc MPN luôn không đổi khi D thay đổi.

2. Gọi giao điểm của đường thẳng EF với đường thẳng MN là Q. Chứng minh rằng PQ là phân giác của góc MPN.

Capture 4.PNG




#721662 Chứng minh rằng trung điểm đoạn thẳng nối tâm

Gửi bởi toanND trong 23-04-2019 - 21:33

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) đường kính BD. E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng trung điểm đoạn thẳng nối tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC nằm trên BD. (sử dụng định lí con bướm)

capture 3.PNG




#721264 $\sum \frac{a+b}{c} \geq 2\sqrt{( \sum a)(...

Gửi bởi toanND trong 03-04-2019 - 23:52

Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng khi đó ta có:

$\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\geqslant 2\sqrt{(a+b+c)(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab})}$




#720265 $ii) f(xy)=f(x).f(y)-f(x+y)+1$

Gửi bởi toanND trong 17-02-2019 - 18:19

Tìm hàm số $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ thỏa mãn:

$i) f(1)=2$

$ii) f(xy)=f(x).f(y)-f(x+y)+1$