ithanhlam

Cho a,b,c dương thỏa a+b+c=1 .Tìm max của ab+ac

Ta có: ab+ac = a(b+c) = a(1-a) = a - a^2 
Đặt a - a^2 = M.

Ta có: M = -a^2 + a
=> 4M = -4a^2 + 4a = -4a^2 + 4a - 1 + 1 = -(2a-1)^2 + 1 <= 1
Suy ra M <= 1/4
Dấu "=" xảy ra <=> a = 1/2; b+c = 1/2

$\Rightarrow M=2+t+\frac{1}{t}=2+\frac{5}{2}+\frac{(2t-1)(t-2)}{2}=\frac{9}{4}+\frac{(2t-1)(t-2)}{2}$

2 + 5/2 = 9/2 chứ ?

$\sum \frac{1}{ab+a+1}=\frac{abc}{ab+a+abc}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{b}{cab+cb+b}=\frac{bc}{b+1+bc}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{b}{bc+b+1}=1$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{(a+1)^2+b^2+1}=\sum \frac{1}{a^2+b^2+2a+2} \leq \frac{1}{2} \sum \frac{1}{ab+a+1}=\frac{1}{2}$( BĐT Côsy)

Dùng Cauchy á ?