MrDat

Chứng minh

$a\geqq b\geqq c> 0\,\therefore\,\sum\limits_{cyc}\,\frac{a+ \sqrt{\frac{b}{c}}\times b}{\sqrt{\frac{b}{c}}\times a+ b}\geqq 3$

Anh ơi cho em hỏi thực sự mục tiêu của anh là gì khi đăng những bài tập này lên ạ (anh muốn hỏi mọi người hay muốn chia sẻ nghiên cứu của anh , bởi vì có rất nhiều bài anh đăng thực sự khó với tầm tuổi học sinh như em

Chứng minh

$a,\,b,\,c\geqq 0\,\therefore\,(\,c+ a- 2\,b\,)^{\,2}(\,b+ 4\,c- 5\,a\,)+ 36\,a(\,a^{\,2}+ b^{\,2}+ c^{\,2}- ab- bc+ 2\,ca\,)\geqq 0$

Em thề em không hiểu anh đang nói cái gì????

Anh ơi dấu ba chấm xếp hình tam giác là gì vậy ạ , em ko hiểu kí kiệu cho lắm??

 $2b)\sqrt[3]{a+b}=\sqrt[3]{\frac{3}{2}.\frac{2}{3}(a+b)}\leq\sqrt[3]{\frac{3}{2}}(\frac{a+b+2/3}{2});\sqrt[3]{b+c} \leq\sqrt[3]{\frac{3}{2}}(\frac{b+c+2/3}{2});\sqrt[3]{c+a}\leq\sqrt[3]{\frac{3}{2}}(\frac{c+a+2/3}{2})\Rightarrow \sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}\leq\sqrt[3]{\frac{3}{2}}(a+b+c+2)=\sqrt[3]{18}$. Dấu = xảy ra <=>  a=b=c=1/3

Bạn bilun ơi xem lại phần $\sqrt[3]{\frac{3}{2}.\frac{2}{3}(a+b)}\leq \sqrt[3]{\frac{3}{2}}\frac{(a++b+\frac{2}{3})}{2}$

 Mình biết bạn áp dụng $\sqrt{xy}\leq \frac{(x+y)}{2}$ nhưng đây là căn bậc ba bạn nhé, mong bạn xem lại.

.

Ừ nhưng đây mình giải được rồi bài giải đây

Giả sử b nằm giữa a và c

có $a(b-a)(b-c)\leq 0 \Rightarrow b^2a+a^2c-a^2b-abc\leq 0 \Rightarrow b^2a+a^2c\leq a^2b+abc \Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2\leq b(a^2+ac+c^2)\leq b(a+c)^{2}$ do a,c$\geq 0$

Áp dụng BDT cauchy $2b(a+c)^2\leq (\frac{2b+a+c+a+c}{3})^3\doteq \frac{8}{27}(a+b+c)^{3}=8\Rightarrow b(a+c)^2\leq 4 \Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2\leq 4$

Dấu '=' khi TH1 a=0, b=1, c=2

                  TH2 a=2, b=1, c=0