Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


MrDat

Đăng ký: 28-03-2019
Offline Đăng nhập: 28-11-2019 - 18:49
*****

#727738 $P_{min}=\frac{x^3z}{y^2(xz+y^2)}+...

Gửi bởi MrDat trong 25-11-2019 - 22:27

Cho các số thực x,y,z thỏa 0<x<y<z. 

Tìm  $P_{min}=\frac{x^3z}{y^2(xz+y^2)}+\frac{y^4}{z^2(xz+y^2)}+\frac{z^3+2019x^3}{x^2z}$ (em làm rồi)

Cho ba số thực không âm a,b,c thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a)=2$

Chứng minh rằng $(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)\leq 1$

Cho ba số dương a,b,c

c/m: $\frac{a(a-2b+c)}{ab+1}+\frac{b(b-2c+a)}{bc+1}+\frac{c(c-2a+b)}{ca+1}\geq 0$

Phần 1 nhé , em làm cũng chưa chắc chắn lắm mong mọi người kiểm tra hộ

Có $\frac{x^3z}{y^2(xz+y^2)}\doteq \frac{\frac{x^3}{y^3}}{\frac{x}{y}+\frac{y}{z}}$

      $\frac{y^4}{z^2(xz+y^2)}\doteq \frac{\frac{y^3}{z^3}}{\frac{x}{y}+\frac{y}{z}}$

Suy ra $\frac{x^3z}{y^2(xz+y^2)}+\frac{y^4}{z^2(xz+y^2)}\doteq \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}-\frac{x}{z}$

Khi đó P=$\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}+\frac{2018x}{z}$

        P$\geq \frac{z^2}{x^2}+\frac{2020x}{z}\doteq \frac{z^2}{x^2}+\frac{1010x}{z}+\frac{1010x}{z}\geq 3\sqrt[3]{1010^2}$

Dấu bằng khi $\frac{z^2}{x^2}\doteq \frac{1010x}{z}\rightarrow \frac{z}{x}\doteq \sqrt[3]{1010}$ , $xz\doteq y^2$ và $x,y,z$ thỏa mãn $0< x< y< z$




#727660 $\frac{1}{2-ab}+\frac{1}{2-...

Gửi bởi MrDat trong 23-11-2019 - 22:47

giúp em câu 2 nữa được không ạ ! cảm ơn anh nhiều <3

Câu 2 cx ko phải câu dễ đâu đừng kì vọng quá:((




#727641 $\frac{1}{2-ab}+\frac{1}{2-...

Gửi bởi MrDat trong 23-11-2019 - 21:14

Do syndycate làm ko rõ nên mình chỉnh lại nhé (2 đứa cm mà không viết latex nữa thì tố cáo)

Xét $\frac{1}{2-ab}\doteq \frac{2}{2a^2+2b^2+2c^2-2ab}\leq \frac{2}{a^2+b^2+2c^2}\doteq \frac{2}{c^2+2}$

Tương tự $\frac{1}{2-bc}\leq \frac{2}{a^2+2}$

                $\frac{1}{2-ca}\leq \frac{2}{b^2+2}$

Cần chứng minh $\frac{2}{a^2+2}+\frac{2}{b^2+2}+\frac{2}{c^2+2}\leq \frac{9}{4}$

                          $\Leftrightarrow \frac{3a^2-2}{4(c^2+2)}+\frac{3b^2-2}{4(b^2+2)}+\frac{3c^2-2}{4(c^2+2)}\geq 0$

Giả sử $a\leq b\leq c\rightarrow a^2+2\leq b^2+2\leq c^2+2$

Suy ra $\frac{3a^2-2}{4(a^2+2)}+\frac{3b^2-2}{4(b^2+2)}+\frac{3c^2-2}{4(c^2+2)}\geq \frac{3a^2-2}{4(c^2+2)}+\frac{3b^2-2}{4(c^2+2)}+\frac{3c^2-2}{4(c^2+2)}\doteq \frac{3a^2+3b^2+3c^2-6}{4(c^2+2)}\doteq 0$ (đpcm)

Dấu bằng khi a=b=c




#727638 $\frac{1}{2-ab}+\frac{1}{2-...

Gửi bởi MrDat trong 23-11-2019 - 21:02

1, a,b,c phải dương nha đk ab,bc,ca khác 2
Dấu bằng khi a=b=c =căn2/3
ta có 1/2-ab = 1/a^2+b^2+c^2-ab
=< 2/2(a^2+b^2+c^2)-a^2-b^2
= 2/4-(2-c^2) = 2/c^2+2
Từ đó cần cm:
Tổng cac hoán vị 2/c^2+2 =< 9/4
=> tổng các hoán vị 3/4 - 2/c^2+2 >= 0
=> tong cac hoan vi 3c^-2/4(c^2+2) >= 0(*)
cần cm (*)
KMTTQ, giả sử b nằm giữa a và c
=> a^2+2=<b^2+2=<c^2+2
=> 3a^2-2/a^2+2 >= 3a^2-2/c^+2
Tương tự:
3b^2-2/b^2+2>= 3b^2/c^2+2
Cộng vế với vế ta đc :
VT(*) >= 3(a^2+b^2+c^2)-6/c^2+2 =0
=> đpcm
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c = căn 2/3
Give Me A Light

bạn cx viết latex nốt đi




#727636 $\frac{1}{2-ab}+\frac{1}{2-...

Gửi bởi MrDat trong 23-11-2019 - 21:00

Tổng hoàn bị của 2/(c^2+2)>=9/4 mà. Điều này cm được:
Có 2/(c^2+2)=1-c^2(c^2+2)=1-c^2/(a^2+c^2+b^2+c^2)>=1-c^2/4.(1/(a^2+c^2)+1/(b^2+c^2))=1-1/4(c^2(a^2+c^2)+c^2/(b^2+c^2)). Tương tự cộng vế suy ra tổng hoán vị 2/(2+c^2)>=3-3/4=9/4??

viết latex đi 




#727309 BĐT

Gửi bởi MrDat trong 11-11-2019 - 12:31

Tìm min (đây là sự hợp tác của mình với Henry00Harry và Syndycate nhé)

Ta cm $xyz+2x\leq \sqrt{2}(x^2+y^2+z^2)$ = $2\sqrt{2}$

Thật vậy có $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2\rightarrow x\leq \sqrt{2}$

Có $xyz\leq \frac{x(y^2+z^2)}{2}=\frac{x(2-x^2)}{2}=x-\frac{x^3}{2}$

Ta cần cm $x-\frac{x^3}{2}+2x\leq 2\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow 3x-\frac{x^3}{2}\leq 2\sqrt{2}\Leftrightarrow 6x-x^3\leq 4\sqrt{2}\Leftrightarrow x^3-6x+4\sqrt{2}\geq 0$

Luôn đúng do $x^3-6x+4\sqrt{2}=(x+2\sqrt{2})(x-\sqrt{2})^2\geq 0$

Suy ra $xyz+2x\leq \sqrt{2}(x^2+y^2+z^2)\rightarrow \frac{x}{yz+2}=\frac{x^2}{xyz+2x}\geq \frac{x^2}{\sqrt{2}(x^2+y^2+z^2)}$

$\Rightarrow P\geq \sum \frac{x^2}{\sqrt{2}(x^2+y^2+z^2)}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Dấu bằng khi $\Leftrightarrow (x,y,z)\sim (\sqrt{2},0,0)$

(Dấu bằng suy như điểm biên ở phần max nhé)




#727056 $\frac{1}{2x^{2}+y^{2}+3}+...

Gửi bởi MrDat trong 02-11-2019 - 18:24

Có xy+yz+zx=3xyz suy ra $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\doteq 3\rightarrow \frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}\leq 3\rightarrow xyz\geq 1$  (CAUCHY bạn nhé)

  

có $\frac{1}{2x^2+y^2+3}\leq \frac{1}{2xy+2x+2}$ 

Tương tự $\frac{1}{2y^2+z^2+3}\leq \frac{1}{2yz+2y+2}$

              $\frac{1}{2z^2+x^2+3}\leq \frac{1}{2zx+2z+2}$

Suy ra VP$\leq 1/2 (\frac{1}{xy+x+1}+\frac{1}{yz+y+1}+\frac{1}{zx+z+1})\leq \frac{1}{2}$ (Áp dụng xyz$\geq 1$)

Vậy max=$\frac{1}{2}$

Dấu bằng khi a=b=c=1




#726642 \[a^{2}+ b^{2}+ c^{2}+ d^{2}...

Gửi bởi MrDat trong 20-10-2019 - 11:05

CHỨNG MINH $\frac{\sum_{cyc} a^{2}}{\sum_{cyc} a(b+ c+ d)}< 1$ KHÔNG DÙNG $e$, CÓ AI GIÚP KHÔNG?  @};-

anh ơi e là gì ạ?




#726634 \[a^{2}+ b^{2}+ c^{2}+ d^{2}...

Gửi bởi MrDat trong 20-10-2019 - 01:40

Do mình không có thời gian nên mong các bạn thông cảm cảm (đang là 2h đêm)dRiq4k8x.jpg

Giả sử AB=a , BC=b , CD=c , DA=d , BD=e 

Có b+c > e 

      e+d > a 

(theo BDT tam giác) 

Ta có ab+ac+ad = a(b+c+d) > a(e+d) > a^2

      Tương tự thì bc+bd+ba > b^2

                            cd+cb+ca > c^2

                           da+db+dc > d^2

Cộng vế ra DPCM




#722946 $\sum\limits_{cyc}\,\frac{a+ \sq...

Gửi bởi MrDat trong 10-06-2019 - 23:38

Chứng minh

$a\geqq b\geqq c> 0\,\therefore\,\sum\limits_{cyc}\,\frac{a+ \sqrt{\frac{b}{c}}\times b}{\sqrt{\frac{b}{c}}\times a+ b}\geqq 3$

Anh ơi cho em hỏi thực sự mục tiêu của anh là gì khi đăng những bài tập này lên ạ (anh muốn hỏi mọi người hay muốn chia sẻ nghiên cứu của anh , bởi vì có rất nhiều bài anh đăng thực sự khó với tầm tuổi học sinh như em




#722925 BDT

Gửi bởi MrDat trong 10-06-2019 - 11:55

Chứng minh

$a,\,b,\,c\geqq 0\,\therefore\,(\,c+ a- 2\,b\,)^{\,2}(\,b+ 4\,c- 5\,a\,)+ 36\,a(\,a^{\,2}+ b^{\,2}+ c^{\,2}- ab- bc+ 2\,ca\,)\geqq 0$

Em thề em không hiểu anh đang nói cái gì????




#722875 $$x+ y+ z= 3,\,x^{\,2}+ y^{\,2}+...

Gửi bởi MrDat trong 09-06-2019 - 09:48

Anh ơi dấu ba chấm xếp hình tam giác là gì vậy ạ , em ko hiểu kí kiệu cho lắm??




#722874 Tổng hợp các bất đẳng thức cần câu trả lời

Gửi bởi MrDat trong 09-06-2019 - 09:42

 $2b)\sqrt[3]{a+b}=\sqrt[3]{\frac{3}{2}.\frac{2}{3}(a+b)}\leq\sqrt[3]{\frac{3}{2}}(\frac{a+b+2/3}{2});\sqrt[3]{b+c} \leq\sqrt[3]{\frac{3}{2}}(\frac{b+c+2/3}{2});\sqrt[3]{c+a}\leq\sqrt[3]{\frac{3}{2}}(\frac{c+a+2/3}{2})\Rightarrow \sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}\leq\sqrt[3]{\frac{3}{2}}(a+b+c+2)=\sqrt[3]{18}$. Dấu = xảy ra <=>  a=b=c=1/3

Bạn bilun ơi xem lại phần $\sqrt[3]{\frac{3}{2}.\frac{2}{3}(a+b)}\leq \sqrt[3]{\frac{3}{2}}\frac{(a++b+\frac{2}{3})}{2}$

 Mình biết bạn áp dụng $\sqrt{xy}\leq \frac{(x+y)}{2}$ nhưng đây là căn bậc ba bạn nhé, mong bạn xem lại.

 

.




#722869 BDT

Gửi bởi MrDat trong 08-06-2019 - 21:39

Ừ nhưng đây mình giải được rồi bài giải đây

Giả sử b nằm giữa a và c

có $a(b-a)(b-c)\leq 0 \Rightarrow b^2a+a^2c-a^2b-abc\leq 0 \Rightarrow b^2a+a^2c\leq a^2b+abc \Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2\leq b(a^2+ac+c^2)\leq b(a+c)^{2}$ do a,c$\geq 0$

Áp dụng BDT cauchy $2b(a+c)^2\leq (\frac{2b+a+c+a+c}{3})^3\doteq \frac{8}{27}(a+b+c)^{3}=8\Rightarrow b(a+c)^2\leq 4 \Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2\leq 4$

Dấu '=' khi TH1 a=0, b=1, c=2

                  TH2 a=2, b=1, c=0




#722856 Tìm max

Gửi bởi MrDat trong 08-06-2019 - 14:39

Bạn ơi điều kiện a,b,c thế nào