MrDat

Cho các số thực x,y,z thỏa 0<x<y<z. 

Tìm  $P_{min}=\frac{x^3z}{y^2(xz+y^2)}+\frac{y^4}{z^2(xz+y^2)}+\frac{z^3+2019x^3}{x^2z}$ (em làm rồi)

Cho ba số thực không âm a,b,c thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a)=2$

Chứng minh rằng $(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)\leq 1$

Cho ba số dương a,b,c

c/m: $\frac{a(a-2b+c)}{ab+1}+\frac{b(b-2c+a)}{bc+1}+\frac{c(c-2a+b)}{ca+1}\geq 0$

Phần 1 nhé , em làm cũng chưa chắc chắn lắm mong mọi người kiểm tra hộ

Có $\frac{x^3z}{y^2(xz+y^2)}\doteq \frac{\frac{x^3}{y^3}}{\frac{x}{y}+\frac{y}{z}}$

      $\frac{y^4}{z^2(xz+y^2)}\doteq \frac{\frac{y^3}{z^3}}{\frac{x}{y}+\frac{y}{z}}$

Suy ra $\frac{x^3z}{y^2(xz+y^2)}+\frac{y^4}{z^2(xz+y^2)}\doteq \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}-\frac{x}{z}$

Khi đó P=$\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}+\frac{2018x}{z}$

        P$\geq \frac{z^2}{x^2}+\frac{2020x}{z}\doteq \frac{z^2}{x^2}+\frac{1010x}{z}+\frac{1010x}{z}\geq 3\sqrt[3]{1010^2}$

Dấu bằng khi $\frac{z^2}{x^2}\doteq \frac{1010x}{z}\rightarrow \frac{z}{x}\doteq \sqrt[3]{1010}$ , $xz\doteq y^2$ và $x,y,z$ thỏa mãn $0< x< y< z$

giúp em câu 2 nữa được không ạ ! cảm ơn anh nhiều <3

Câu 2 cx ko phải câu dễ đâu đừng kì vọng quá(

Do syndycate làm ko rõ nên mình chỉnh lại nhé (2 đứa cm mà không viết latex nữa thì tố cáo)

Xét $\frac{1}{2-ab}\doteq \frac{2}{2a^2+2b^2+2c^2-2ab}\leq \frac{2}{a^2+b^2+2c^2}\doteq \frac{2}{c^2+2}$

Tương tự $\frac{1}{2-bc}\leq \frac{2}{a^2+2}$

                $\frac{1}{2-ca}\leq \frac{2}{b^2+2}$

Cần chứng minh $\frac{2}{a^2+2}+\frac{2}{b^2+2}+\frac{2}{c^2+2}\leq \frac{9}{4}$

                          $\Leftrightarrow \frac{3a^2-2}{4(c^2+2)}+\frac{3b^2-2}{4(b^2+2)}+\frac{3c^2-2}{4(c^2+2)}\geq 0$

Giả sử $a\leq b\leq c\rightarrow a^2+2\leq b^2+2\leq c^2+2$

Suy ra $\frac{3a^2-2}{4(a^2+2)}+\frac{3b^2-2}{4(b^2+2)}+\frac{3c^2-2}{4(c^2+2)}\geq \frac{3a^2-2}{4(c^2+2)}+\frac{3b^2-2}{4(c^2+2)}+\frac{3c^2-2}{4(c^2+2)}\doteq \frac{3a^2+3b^2+3c^2-6}{4(c^2+2)}\doteq 0$ (đpcm)

Dấu bằng khi a=b=c

1, a,b,c phải dương nha đk ab,bc,ca khác 2
Dấu bằng khi a=b=c =căn2/3
ta có 1/2-ab = 1/a^2+b^2+c^2-ab
=< 2/2(a^2+b^2+c^2)-a^2-b^2
= 2/4-(2-c^2) = 2/c^2+2
Từ đó cần cm:
Tổng cac hoán vị 2/c^2+2 =< 9/4
=> tổng các hoán vị 3/4 - 2/c^2+2 >= 0
=> tong cac hoan vi 3c^-2/4(c^2+2) >= 0(*)
cần cm (*)
KMTTQ, giả sử b nằm giữa a và c
=> a^2+2=<b^2+2=<c^2+2
=> 3a^2-2/a^2+2 >= 3a^2-2/c^+2
Tương tự:
3b^2-2/b^2+2>= 3b^2/c^2+2
Cộng vế với vế ta đc :
VT(*) >= 3(a^2+b^2+c^2)-6/c^2+2 =0
=> đpcm
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c = căn 2/3
Give Me A Light

bạn cx viết latex nốt đi

Tổng hoàn bị của 2/(c^2+2)>=9/4 mà. Điều này cm được:
Có 2/(c^2+2)=1-c^2(c^2+2)=1-c^2/(a^2+c^2+b^2+c^2)>=1-c^2/4.(1/(a^2+c^2)+1/(b^2+c^2))=1-1/4(c^2(a^2+c^2)+c^2/(b^2+c^2)). Tương tự cộng vế suy ra tổng hoán vị 2/(2+c^2)>=3-3/4=9/4??

viết latex đi 

Tìm min (đây là sự hợp tác của mình với Henry00Harry và Syndycate nhé)

Ta cm $xyz+2x\leq \sqrt{2}(x^2+y^2+z^2)$ = $2\sqrt{2}$

Thật vậy có $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2\rightarrow x\leq \sqrt{2}$

Có $xyz\leq \frac{x(y^2+z^2)}{2}=\frac{x(2-x^2)}{2}=x-\frac{x^3}{2}$

Ta cần cm $x-\frac{x^3}{2}+2x\leq 2\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow 3x-\frac{x^3}{2}\leq 2\sqrt{2}\Leftrightarrow 6x-x^3\leq 4\sqrt{2}\Leftrightarrow x^3-6x+4\sqrt{2}\geq 0$

Luôn đúng do $x^3-6x+4\sqrt{2}=(x+2\sqrt{2})(x-\sqrt{2})^2\geq 0$

Suy ra $xyz+2x\leq \sqrt{2}(x^2+y^2+z^2)\rightarrow \frac{x}{yz+2}=\frac{x^2}{xyz+2x}\geq \frac{x^2}{\sqrt{2}(x^2+y^2+z^2)}$

$\Rightarrow P\geq \sum \frac{x^2}{\sqrt{2}(x^2+y^2+z^2)}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Dấu bằng khi $\Leftrightarrow (x,y,z)\sim (\sqrt{2},0,0)$

(Dấu bằng suy như điểm biên ở phần max nhé)

Có xy+yz+zx=3xyz suy ra $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\doteq 3\rightarrow \frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}\leq 3\rightarrow xyz\geq 1$  (CAUCHY bạn nhé)

có $\frac{1}{2x^2+y^2+3}\leq \frac{1}{2xy+2x+2}$ 

Tương tự $\frac{1}{2y^2+z^2+3}\leq \frac{1}{2yz+2y+2}$

              $\frac{1}{2z^2+x^2+3}\leq \frac{1}{2zx+2z+2}$

Suy ra VP$\leq 1/2 (\frac{1}{xy+x+1}+\frac{1}{yz+y+1}+\frac{1}{zx+z+1})\leq \frac{1}{2}$ (Áp dụng xyz$\geq 1$)

Vậy max=$\frac{1}{2}$

Dấu bằng khi a=b=c=1

CHỨNG MINH $\frac{\sum_{cyc} a^{2}}{\sum_{cyc} a(b+ c+ d)}< 1$ KHÔNG DÙNG $e$, CÓ AI GIÚP KHÔNG? 

anh ơi e là gì ạ?

Do mình không có thời gian nên mong các bạn thông cảm cảm (đang là 2h đêm)

Giả sử AB=a , BC=b , CD=c , DA=d , BD=e 

Có b+c > e 

      e+d > a 

(theo BDT tam giác) 

Ta có ab+ac+ad = a(b+c+d) > a(e+d) > a^2

      Tương tự thì bc+bd+ba > b^2

                            cd+cb+ca > c^2

                           da+db+dc > d^2

Cộng vế ra DPCM

Chứng minh

$a\geqq b\geqq c> 0\,\therefore\,\sum\limits_{cyc}\,\frac{a+ \sqrt{\frac{b}{c}}\times b}{\sqrt{\frac{b}{c}}\times a+ b}\geqq 3$

Anh ơi cho em hỏi thực sự mục tiêu của anh là gì khi đăng những bài tập này lên ạ (anh muốn hỏi mọi người hay muốn chia sẻ nghiên cứu của anh , bởi vì có rất nhiều bài anh đăng thực sự khó với tầm tuổi học sinh như em

Chứng minh

$a,\,b,\,c\geqq 0\,\therefore\,(\,c+ a- 2\,b\,)^{\,2}(\,b+ 4\,c- 5\,a\,)+ 36\,a(\,a^{\,2}+ b^{\,2}+ c^{\,2}- ab- bc+ 2\,ca\,)\geqq 0$

Em thề em không hiểu anh đang nói cái gì????

Anh ơi dấu ba chấm xếp hình tam giác là gì vậy ạ , em ko hiểu kí kiệu cho lắm??

 $2b)\sqrt[3]{a+b}=\sqrt[3]{\frac{3}{2}.\frac{2}{3}(a+b)}\leq\sqrt[3]{\frac{3}{2}}(\frac{a+b+2/3}{2});\sqrt[3]{b+c} \leq\sqrt[3]{\frac{3}{2}}(\frac{b+c+2/3}{2});\sqrt[3]{c+a}\leq\sqrt[3]{\frac{3}{2}}(\frac{c+a+2/3}{2})\Rightarrow \sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}\leq\sqrt[3]{\frac{3}{2}}(a+b+c+2)=\sqrt[3]{18}$. Dấu = xảy ra <=>  a=b=c=1/3

Bạn bilun ơi xem lại phần $\sqrt[3]{\frac{3}{2}.\frac{2}{3}(a+b)}\leq \sqrt[3]{\frac{3}{2}}\frac{(a++b+\frac{2}{3})}{2}$

 Mình biết bạn áp dụng $\sqrt{xy}\leq \frac{(x+y)}{2}$ nhưng đây là căn bậc ba bạn nhé, mong bạn xem lại.

.

Ừ nhưng đây mình giải được rồi bài giải đây

Giả sử b nằm giữa a và c

có $a(b-a)(b-c)\leq 0 \Rightarrow b^2a+a^2c-a^2b-abc\leq 0 \Rightarrow b^2a+a^2c\leq a^2b+abc \Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2\leq b(a^2+ac+c^2)\leq b(a+c)^{2}$ do a,c$\geq 0$

Áp dụng BDT cauchy $2b(a+c)^2\leq (\frac{2b+a+c+a+c}{3})^3\doteq \frac{8}{27}(a+b+c)^{3}=8\Rightarrow b(a+c)^2\leq 4 \Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2\leq 4$

Dấu '=' khi TH1 a=0, b=1, c=2

                  TH2 a=2, b=1, c=0

Bạn ơi điều kiện a,b,c thế nào