MrDat

Chứng minh

$a\geqq b\geqq c> 0\,\therefore\,\sum\limits_{cyc}\,\frac{a+ \sqrt{\frac{b}{c}}\times b}{\sqrt{\frac{b}{c}}\times a+ b}\geqq 3$

Anh ơi cho em hỏi thực sự mục tiêu của anh là gì khi đăng những bài tập này lên ạ (anh muốn hỏi mọi người hay muốn chia sẻ nghiên cứu của anh , bởi vì có rất nhiều bài anh đăng thực sự khó với tầm tuổi học sinh như em

Chứng minh

$a,\,b,\,c\geqq 0\,\therefore\,(\,c+ a- 2\,b\,)^{\,2}(\,b+ 4\,c- 5\,a\,)+ 36\,a(\,a^{\,2}+ b^{\,2}+ c^{\,2}- ab- bc+ 2\,ca\,)\geqq 0$

Em thề em không hiểu anh đang nói cái gì????

Anh ơi dấu ba chấm xếp hình tam giác là gì vậy ạ , em ko hiểu kí kiệu cho lắm??

 $2b)\sqrt[3]{a+b}=\sqrt[3]{\frac{3}{2}.\frac{2}{3}(a+b)}\leq\sqrt[3]{\frac{3}{2}}(\frac{a+b+2/3}{2});\sqrt[3]{b+c} \leq\sqrt[3]{\frac{3}{2}}(\frac{b+c+2/3}{2});\sqrt[3]{c+a}\leq\sqrt[3]{\frac{3}{2}}(\frac{c+a+2/3}{2})\Rightarrow \sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}\leq\sqrt[3]{\frac{3}{2}}(a+b+c+2)=\sqrt[3]{18}$. Dấu = xảy ra <=>  a=b=c=1/3

Bạn bilun ơi xem lại phần $\sqrt[3]{\frac{3}{2}.\frac{2}{3}(a+b)}\leq \sqrt[3]{\frac{3}{2}}\frac{(a++b+\frac{2}{3})}{2}$

 Mình biết bạn áp dụng $\sqrt{xy}\leq \frac{(x+y)}{2}$ nhưng đây là căn bậc ba bạn nhé, mong bạn xem lại.

.

Ừ nhưng đây mình giải được rồi bài giải đây

Giả sử b nằm giữa a và c

có $a(b-a)(b-c)\leq 0 \Rightarrow b^2a+a^2c-a^2b-abc\leq 0 \Rightarrow b^2a+a^2c\leq a^2b+abc \Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2\leq b(a^2+ac+c^2)\leq b(a+c)^{2}$ do a,c$\geq 0$

Áp dụng BDT cauchy $2b(a+c)^2\leq (\frac{2b+a+c+a+c}{3})^3\doteq \frac{8}{27}(a+b+c)^{3}=8\Rightarrow b(a+c)^2\leq 4 \Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2\leq 4$

Dấu '=' khi TH1 a=0, b=1, c=2

                  TH2 a=2, b=1, c=0

Bạn ơi điều kiện a,b,c thế nào

Mình xí câu 3

Có $\sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}\doteq\sqrt{(a+b)^{2}-3ab}\geq \sqrt{(a+b)^{2}-\frac{3(a+b)^{2}}{4}}\doteq \sqrt{\frac{1}{4}(a+b)^{2}}\doteq \frac{1}{2}(a+b)$

Tương tự $\sqrt{b^2-bc+c^2}\geq \frac{1}{2}(b+c)$

                $\sqrt{c^2-ca+a^2}\geq \frac{1}{2}(c+a)$

 Cộng vế $\Rightarrow \sqrt{a^2-ab+b^2} + \sqrt{b^2-bc+c^2} + \sqrt{c^2-ca+a^2} \geq \frac{1}{2}(a+b+b+c+c+a)\doteq (a+b+c)$

      DPCM dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Cho a,b,c$\geq 0$ tm a+b+c=3

tìm max $ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}$

Để tối mai mình gửi cho bạn

Áp dụng bdt $\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}+\frac{c^{2}}{z}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{x+y+z}$ ( với a ,b ,c ,x ,y,z dương) Dấu bằng $\Leftrightarrow \frac{a}{x}\doteq \frac{b}{y}\doteq \frac{c}{z}$

Có M=$\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z} \doteq \frac{1}{16x}+\frac{4}{16y}+\frac{16}{16z}\geq \frac{(1+2+4)^{2}}{16(x+y+z)}\doteq \frac{49}{32}$

Dấu bằng khi $\frac{1}{16x}\doteq \frac{2}{16y}\doteq \frac{4}{16z}\Leftrightarrow x\doteq \frac{2}{7} , y\doteq \frac{4}{7} , z\doteq \frac{8}{7}$

 P/s Nhớ like cho mình

Có $x+y\geq 2\sqrt{xy} \Rightarrow \sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2}$

Có S$\doteq \frac{x+y}{^{\sqrt{x(2y+x)}+\sqrt{y(2x+y)}}}\doteq \frac{^{\sqrt{3}(x+y)}}{\sqrt{3x(2y+x)}+\sqrt{3y(2x+y)}}$

Mà $\sqrt{3x(2y+x)}\leq \frac{3x+2y+x}{2}$

      $\sqrt{3y(2x+y)}\leq \frac{3y+2x+y}{2}$

$\Rightarrow \frac{\sqrt{3}(x+y)}{\sqrt{3x(2y+x)}+\sqrt{3y(2y+x)}}\geq \frac{2\sqrt{3}(x+y)}{3x+2y+x+3y+2x+y}$$\doteq \frac{2\sqrt{3}(x+y)}{6(x+y)}\doteq \frac{1}{\sqrt{3}}$

Vậy $S\geq \frac{1}{{\sqrt{3}}}$

Dấu bằng khi x=y

P/s Like và kết bạn với mình nhé

BDT $\Leftrightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq \frac{2}{x^{2}+yz}+\frac{2}{y^{2}+zx}+\frac{2}{z^{2}+xy}$   (3)

     Có $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}\geq \frac{2}{y\sqrt{xz}}$   (cosi)

          $\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq \frac{2}{z\sqrt{yx}}$    (cosi)

          $\frac{1}{zx}+\frac{1}{xy}\geq \frac{2}{x\sqrt{zy}}$    (cosi)

       $\Rightarrow 2(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx})\geq 2(\frac{1}{x\sqrt{yz}}+\frac{1}{y\sqrt{zx}}+\frac{1}{z\sqrt{xy}})$

      $\Rightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq \frac{1}{x\sqrt{yz}}+\frac{1}{y\sqrt{zx}}+\frac{1}{z\sqrt{xy}}$    (1)

     Lại có $x^{2}+yz\geq 2x\sqrt{yz} \Rightarrow \frac{2}{x^{2}+yz}\leq \frac{2}{2x\sqrt{yz}}\doteq \frac{1}{x\sqrt{yz}}$

    CMTT $\frac{2}{y^{2}+zx}\leq \frac{1}{y\sqrt{xz}}$

               $\frac{2}{z^{2}+xy}\leq \frac{1}{z\sqrt{yx}}$

           Cộng vế $\Rightarrow \frac{1}{x\sqrt{yz}}+\frac{1}{y\sqrt{zx}}+\frac{1}{z\sqrt{xy}}\geq \frac{2}{x^{2}+yz}+\frac{2}{y^{2}+zx}+\frac{2}{z^{2}+xy}$     (2)

      Từ (1) và (2) suy ra (3) (dpcm)

      Dấu bằng xảy ra khi x=y=z 

   P/s: cho mình hỏi đây là bài lớp mấy