tthnew

Một đề rất nhẹ nhàng. Các bạn có thể tham khảo ở đây.

$\boxed{45}$ (Đề thi thử Archimedes ngày 5/6/2021) Cho tam giác $ABC$ có hai đường cao $BE,CF$ cắt nhau tại $H$ ($E \in CA, F\in AB$). Gọi $M,N$ là trung điểm $CE,BF.$ $NM$ cắt $BE,CF$ tại $P,Q.$

a) Chứng minh rằng $\dfrac{PB}{PE}=\dfrac{QF}{QC}.$

b) Chứng minh rằng $(AMN)$ tiếp xúc $(HPQ).$

c) Gọi $I$ là trung điểm $PQ;$ K là giao điểm của $IH$ và $EF.$ Chứng minh rằng $(KPQ)$ đi qua trực tâm của tam giác $HPQ.$

Bản đề gốc:

Mình làm phần còn lại nãy h ko đc nè. (thử thay n=5 thì 2n+2/3=4 tm ???)

Đề bài trên do trung tâm đánh lại thiếu. Đề bài gốc hôm qua mình thi là "Chứng minh với $n,p$ vừa tìm được, các số nguyên ở trên không đồng thời là số chính phương."

Update. Toàn bộ đề bài trên là:

"Tìm số tự nhiên n và số nguyên tố p sao cho $\dfrac{2n+2}{p},\dfrac{4n^2+2n+1}{p}$ đều là số nguyên. Chứng minh với $n,p$ vừa tìm được, các số nguyên ở trên không đồng thời là số chính phương."

Hôm qua thi đề này sai cay cú nên em nhớ rõ lắm hehe :v 

Bạn Hunghcd nói mình mới để ý, $n\ge 5$ mới đúng, không hiểu sao bên đó đánh lại đề lỗi thế.

Bài 4.

a) Theo đề bài ta có $$(2n+1)^3+1\equiv 0 (\text{mod}\, 2^{2021})$$

Hay là $$(2n+1)^3 \equiv -1 (mod 2^{2021}) \Rightarrow 2n+1 \equiv -1 (mod 2^{2021})$$

Đặt $2n+1=2^{2021}\cdot k -1 \, (k\in \mathbb{N}^{*}) \Rightarrow n = 2^{2020}k-1.$

b) Theo đề bài thì $2n+2\vdots p;4n^2+2n+1\vdots p.$ Từ $2n+2\vdots p \Rightarrow 4n^2+4n\vdots p\Rightarrow 4n^2+4n-\left(4n^2+2n+1\right)=(2n+2)-3\vdots p.$

Suy ra $p | 3,$ mà p nguyên tố nên $p=3.$ Vậy $2n+2\vdots 3, 2n+2\vdots 2,$ vậy $2n+2 \vdots 6$ (vì (3,2)=1)

Đặt $2n+2=6k (k\in \mathbb{N}^*)$ thì $n=3k-1.$

Công việc còn lại chắc là dễ..

Update. Câu 4a mình làm sai.

Hai ý đầu câu hình rất dễ nhưng do em phân thời gian không tốt với đang bị đau răng không tập trung được nên không làm kịp @@

Hôm qua em mất điểm đề này rất là cay  Nếu ở nhà làm được 7đ thì đi thi chỉ còn 3,75@@

Bài 3.

a) Ta có: $$x_n\ge \dfrac{1}{3} \left(x_1+x_2+\cdots +x_n\right) \Rightarrow x_n\ge \dfrac{x_1+x_2+\cdots +x_{n-1}}{2}\ge \dfrac{(n-1)(x_1+x_2)}{4}$$

• Nếu $x_1+x_2<0\Rightarrow x_1+x_2<0<\dfrac{1}{3}\le x_n.$ (đúng)
• Nếu $x_1+x_2\ge 0\to x_n \ge \dfrac{(5-1)\left(x_1+x_2\right)}{4}=x_1+x_2.$

b) Nếu $x_n\ge \dfrac{1}{3} \to \dfrac{1}{3} \leq x_1+x_2+\cdots +x_{n-1}=1-x_n\le \dfrac{2}{3}.$

Tức tồn tại $k=n-1.$

Nếu  $x<\dfrac{1}{3},$ gỉa sử $i$ là số nhỏ nhất sao cho $x_1+x_2+\cdots +x_i\ge \dfrac{1}{3}.$

Nếu $x_1+x_2+\cdots +x_i\ge \dfrac{2}{3}\Rightarrow x_1+x_2+\cdots +x_{i-1}>\dfrac{2}{3}-x_i>\dfrac{1}{3}.$

Vậy tồn tại chỉ $i-1<i$ sao cho $x_1+x_2+\cdots +x_{i-1}>\dfrac{1}{3},$ mâu thuẩn với giả sử.

Vậy $\dfrac{1}{3} \le x_1+x_2+\cdots +x_{i-1}\leq \dfrac{2}{3},$ có đpcm.

$\boxed{\textbf{Bài 41}}$ Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB<AC)$. Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$, tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. Qua $A$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ và cắt $DE,DF$ tại $M,N$, $NE$ cắt $MF$ tại $H$. Vẽ đường tròn $(O)$ ngoại tiếp tam giác $DMN$ cắt $(I)$ tại $L$ khác $D$.

1. Chứng minh: $A$ là tâm $(MNFE)$

2. Chứng minh:  $H$ thuộc $(I)$ và 3 điểm $A,H,L$ thẳng hàng.

3. Tiếp tuyến tại $M,N$ của $(O)$ cắt $EF$ tại $P,Q$, $LP$ cắt $(O)$ tại $T$ khác $L$. Chứng minh: $PT.PL = PE^2$ và 3 điểm $N,E,T$ thẳng hàng.

4. Chứng minh $(LPQ)$ tiếp xúc $(O)$

  Trích đề thi HSG lớp 9 Thành Phố Vũng Tàu 2020-2021

Hôm qua có giải bài này với Linh.

a) Ta đã có $AF = AE.$ Tiếp theo ta chứng minh $AF=AN.$ Có:

Nhân tiện bác Khải Hoàn cho t hỏi mô hình trực tâm là gì:v

Dùng chương trình gì vậy nhỉ, trước đây trước khi nhóm mình bị hỏng thì có 1 anh tên tthnew hay chia sẻ mấy tip về cách dùng cumputer để dùng S.O.S, mà giờ quên tên rồi

Lâu nay chả động tới bất đẳng thức nên cũng quên bén cái này. Đợi mình qua kỳ thi chuyên sẽ làm lại các topic trên. Nhân tiện cho bạn nào cần cài Maple:

• https://nhcan.wordpr...comment-page-1/
• Cách sử dụng chương trình hsos (của tác giả Hedeng) đã được bditilove123 làm video hướng dẫn: 
• Còn chương trình pqr của mình có cách sử dụng giống với:  (mặc dù code hoàn toàn khác)

Đây là tính chất của tứ giác điều hòa (tứ giác đẹp), bạn có thể xem ở đây: https://geosiro.com/?p=1185

$\boxed{33}$Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với các cạnh CA,AB tại E,F. Trên EF lấy các điểm M,N (không trùng E,F) sao cho BM=BF, CN=CE.

   1) Các đường thẳng CM và AB cắt nhau tại L. Chứng minh rằng :

        $\frac{LF}{LA}$=$\frac{CE}{CA}$$.$$\frac{MF}{ME}$

   2) Các đường thẳng BN và AC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng KL$//$ EF

   3) Lấy J sao cho $\widehat{BMJ}$$=$$\widehat{CNJ}$$=$90^o. Chứng minh rằng JI$\perp$BC

                                                                                                 (Trích nguyên văn đề thi thử KHTN vòng 2 - đợt 2) 

Bài này ở đây (hổm tôi có đăng) https://diendantoanh...21/#entry725955

Lời giải câu III, IV. (Sorry các bạn, mình lười gõ $\LaTeX$ quá).

Mời các bạn cùng thảo luận đề thi thử chuyên KHTN vòng 2, đợt 2.

Nhìn chung đề khá nhẹ nhàng. Có thể dễ dàng lấy 7-8 điểm.

$\boxed{32}$ Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ và $D$ di động trên $BC$ chứa $A\, (D\neq A).$ Trên $AB,AC$ lấy các điểm $M,N$ sao cho $MD=MB; NC=ND.$

a) Chúng minh đường cao $DH$ trong $\Delta DMN$ luôn đi một điểm cố định.

b)$DM,DN$ cắt $(O)$ tại $E,F \, (E,F\neq D).$ Chứng minh các đường tròn $(EMB),(FNC)$ cắt nhau tại $K$ thuộc $BC$ và đường cao $KI$ của tam giác $KMN$ luôn đi điểm cố định.

$\boxed{30}$ Đường tròn (O) có dây cung BC cố định, A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường kính AD của (O). BD$\cap$AC=E, CD$\cap$AB=F. Gọi M là trung điểm EF. Tiếp tuyến của E và F của (AEF) cắt nhau tại K. Chứng minh AK đi qua 1 điểm cố định.

Gọi $AK\cap BC=U;AK\cap (AEF)=V.$ Có $\angle ACU=\angle AFE=\angle AVE\Rightarrow \Delta ACU \sim \Delta AVE\Rightarrow \dfrac{CU}{AU}=\dfrac{VE}{AE}.$

Chứng minh tương tự $\dfrac{BU}{AU}=\dfrac{VF}{AF}.$ Mặt khác theo một tính chất quen thuộc của tứ giác điều hòa thì $\dfrac{VE}{AE}=\dfrac{VF}{AF}.$

Từ đây thu được $U$ là trung điểm của $BC$. Vậy $AK$ luôn đi qua trung điểm $BC$ cố định.