Đến nội dung

PDF

PDF

Đăng ký: 01-05-2019
Offline Đăng nhập: 24-05-2023 - 20:50
****-

Trong chủ đề: $\frac{1}{(y-z)^2} +\frac{1}...

04-10-2022 - 15:21

Cho các số thực $x, y, z$ thỏa mãn $(x+y)(x+z)=4$. Chứng minh rằng $\frac{1}{(y-z)^2} +\frac{1}{(x+y)^2}+\frac{1}{(x+z)^2} \ge 1$

$$VT=\frac{1}{(y-z)^{2}}+\frac{(y-z)^{2}}{(x+y)^{2}(x+z)^{2}}+\frac{1}{2}=\frac{1}{t^{2}}+\frac{t^{2}}{16}+\frac{1}{2}\geq 1.$$


Trong chủ đề: Tìm max $\sqrt{a^{3}b+b^{3}c+c^{3...

15-06-2022 - 20:23

Cho a,b,c là các số thực không âm thay đổi thỏa mãn a+b+c=4. Tìm GTLN của P=$\sqrt{a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a+abc^{2}}+\sqrt{ab^{3}+bc^{3}+ca^{3}+bca^{2}}$

Đặt $a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a+abc^{2}=x,ab^{3}+bc^{3}+ca^{3}+bca^{2}=y$.

Ta có $$x+y=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)(bc+ca+ab)-b^{2}ac\leq \left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)(bc+ca+ab)\leq \frac{1}{8}(a+b+c)^{4}=32.$$

Suy ra $P=\sqrt{x}+\sqrt{y}\leq \sqrt{2(x+y)}\leq 8$.

Vậy $P_{max}=2$ khi $a=c=2,b=0$. $\square$


Trong chủ đề: $(a^2b+b^2a+a^2c+c^2a+b^2c+c^2b)^2\geqslant 4(ab+bc+ca)(a^2b^2+...

23-03-2022 - 10:13

1. Cho a,b,c là các số thực dương, Chứng minh bất đảng thức:

$$(a^2b+b^2a+a^2c+c^2a+b^2c+c^2b)^2\geqslant 4(ab+bc+ca)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2).$$

Cách 1. Không mất tính tổng quát, giả sử $b$ nằm giữa $a,c$.

Áp dụng BĐT AM-GM ta có $$VP\leq \left[b(bc+ca+ab)+\frac{b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}}{b}\right]^{2}.$$

Cần chứng minh $$bc(b+c)+ca(c+a)+ab(a+b)\geq b(bc+ca+ab)+\frac{b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}}{b},$$

hay $$\frac{ac(a-b)(b-c)}{b}\geq 0,$$

đúng theo giả sử.

 

Cách 2. Ta chứng minh BĐT tổng quát hơn (Ukraine 2001)

$$x(b+c)+y(c+a)+z(a+b)\geq 2\sqrt{(yz+zx+xy)(bc+ca+ab)}.$$

BĐT tương đương

$$(a+b+c)(x+y+z)\geq ax+by+cz+2\sqrt{(yz+zx+xy)(bc+ca+ab)}.$$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có

$$VP\leq \sqrt{\left[a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(bc+ca+ab)\right]\left[x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(yz+zx+xy)\right]}=VT.$$

Chọn $x=a^{2},y=b^{2},z=c^{2}$ ta có ngay điều phải chứng minh.

 

Cách 3. Giả sử $a\geq b\geq c$.

Xét đa thức $P(x)=(bc+ca+ab)x^{2}-[bc(b+c)+ca(c+a)+ab(a+b)]x+(b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2})$.

Ta có $P(a)=bc(a-b)(a-c)\geq 0,P(b)=ca(b-c)(b-a)\leq 0,P(c)=ab(c-a)(c-b)\geq 0$.

Suy ra $P(x)$ có hai nghiệm, nên $\Delta_{x}=VT-VP\geq 0$. $\square$


Trong chủ đề: Tìm GTLN của $P=3\sqrt[3]{\dfrac{c^2-3a^2}...

23-03-2022 - 09:34

Ta có: $5a^2+2b^2+c^2-2(ab+bc+ca)=5(a-\frac{b+c}{5})^2+\frac{1}{5}(3b-2c)^2\geqslant 0\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geqslant \frac{c^2-3a^2}{2}\Rightarrow 2\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{3}}\geqslant 2\sqrt{\frac{c^2-3a^2}{6}}$

Đặt $\sqrt[6]{\frac{3c^2-a^2}{6}}=t$ thì ta cần tìm giá trị lớn nhất của $3t^2-2t^3$

Mà $3t^2-2t^3-1=-(t-1)^2(2t+1)\leqslant 0\Rightarrow 3t^2-2t^3\leqslant 1$

Khi đi thi, lời giải này chắc chắn bị trừ điểm. Nó chỉ đúng khi $c^{2}\geq 3a^{2}$.

Nên đánh giá cái căn đầu tiên.


Trong chủ đề: CMR: $\left ( x+y-xy \right )\left ( y+z-yz \rig...

22-03-2022 - 22:06

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 2. CMR: $\left ( x+y-xy \right )\left ( y+z-yz \right )\left ( z+x-zx \right )\leq 1-xyz$

Ta có $$(x+y+z)^{6}-8xyz(x+y+z)^{3}-8(y^{2}+z^{2}+xy+xz)(z^{2}+x^{2}+yz+yx)(x^{2}+y^{2}+zx+zy)=(y+z-x)^{2}(z+x-y)^{2}(x+y-z)^{2}\geq 0.$$

Với điều kiện $x+y+z=2$, ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh.