Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


PDF

Đăng ký: 01-05-2019
Offline Đăng nhập: 03-05-2020 - 15:29
-----

#734317 [TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUY...

Gửi bởi PDF trong 28-04-2020 - 18:40

Bài 280: Do $a,b \in [0,1]$ nên $VT\leq \frac{a+b}{2(a+b)+3}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2(2(a+b)+3)}\leq \frac{1}{2}-\frac{3}{2(2.2+3)}=\frac{2}{7}$ (đpcm)

Dấu bằng xảy ra chỉ khi $a=b=1$.




#734316 Cực trị

Gửi bởi PDF trong 28-04-2020 - 18:32

Mọi người giúp em bài 8.1 ý thứ 4 được không ạ?Em cần gấp lắm ạ!

$C\geq |x-3|+|5-x|\geq |x-3+5-x|=2$

Vậy $minC=2$ khi $x=4; y=-1$




#733698 Ghép đối xứng để CM BĐT

Gửi bởi PDF trong 16-04-2020 - 13:55

5) Đặt $x=\frac{2a}{b+c}; y=\frac{2b}{c+a}; z=\frac{2c}{a+b}\Rightarrow \frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}=1\Leftrightarrow yz+zx+xy+xyz=4$.

Ta có: $8P=(x+1)(y+1)(z+1)=(xyz+yz+zx+xy)+(x+y+z)+1=x+y+z+5$.

Mặt khác ta có $x+y+z\geq 3$ (BĐT Nesbitt) $\Rightarrow 8P\geq 8\Leftrightarrow P\geq 1$

Vậy $minP=1$ khi $a=b=c$                                                                                                                                                      $\square$

Cách khác: Cũng có thể sử dụng bổ đề: $(b+c)(c+a)(a+b)\geq 8abc$ để chứng minh.




#733623 Toán 6,7

Gửi bởi PDF trong 15-04-2020 - 08:18

Xét 101 số từ 100 đến 200. Có 101 số mà có 50 nhóm nên tồn tại 1 tập chứa 3 trong các số này. Ta thấy 3 số bất kỳ trong 101 số này là độ dài 3 cạnh tam giác. Từ đó ta có đpcm.




#733398 Dirichlet

Gửi bởi PDF trong 11-04-2020 - 20:15

Trong một mạng lưới liên lạc có 17 trạm liên lạc. Mỗi trạm đều liên lạc  trực tiếp tiếp với mọi trạm còn lại. Biết rằng giứa hai trạm liên lạc dùng chung một trong ba phương tiện sau: điện thoại, điện tín, vô tuyến điện. Chứng minh rằng rằng có ít nhất 3 trạm liên lạc với nhau bằng cùng một phương tiện.

Help me, please!!

Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại 1 trạm có thể liên lạc với 6 trạm khác chỉ bằng 1 phương tiện. Nếu trong 6 trạm này có 2 trạm liên kết với nhau bằng phương tiện giống với trạm còn lại thì ta có đpcm. Nếu 6 trạm đó liên lạc với nhau bằng 2 phương tiện còn lại, tồn tại 1 trạm liên lạc với 3 trạm còn lại chỉ bằng 1 phương tiện. Xét 4 trạm này. Nếu trong 3 trạm có 2 trạm liên lạc với nhau bằng phương tiện giống với trạm còn lại thì ta có đpcm. Nếu không thì 3 trạm còn lại sẽ liên lạc với nhau chỉ bằng 1 phương tiện (đpcm)




#732853 [HELP] Số học thi học sinh giỏi 9

Gửi bởi PDF trong 04-04-2020 - 12:13

Nhờ các bạn cao thủ trợ giúp ạ.

 

Cho A = 4(a^n+1) với a, n là các số tự nhiên.

Chứng minh rằng nếu A là lập phương của 1 số tự nhiên với mọi n thì số giá trị của a là hữu hạn.

Cho $n=3$: Ta có $4(a^{3}+1)$ là SLP (số lập phương)

Cho $n=9$: Ta có $4(a^{9}+1)$ là SLP

Suy ra $a^{6}-a^{3}+1$ là SLP.

Đến đây bài toán rất đơn giản, xin dành lại cho bạn chứng minh nốt.




#731834 [TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUY...

Gửi bởi PDF trong 15-03-2020 - 17:08

Mời mọi người thử sức với 3 bài nữa:

$\boxed{\text{Bài 194}}$: Cho $x,y\geq 0$ thỏa mãn $17x^{2}-72xy+90y^{2}-9=0$. Tìm GTLN của A=$3\sqrt{x}+8\sqrt{y}$

Bài 194. Từ GT suy ra: $x^{2}+9y^{2}\leq 9$. Áp dụng BĐT C-S:

$A^{2}\leq (x+4y)(9+16)=25(x+4y)$; $81(x+4y)^{2}=(9x+36y)^{2}\leq (81+144)(x^{2}+9y^{2})=2025 \Rightarrow x+4y\leq 5$

$\Rightarrow A\leq 5\sqrt {5}$.

Vậy $maxA=5\sqrt {5}$ khi $x=\frac{9}{5};y=\frac{4}{5}$.




#731832 [TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUY...

Gửi bởi PDF trong 15-03-2020 - 16:49

 

$\boxed{\text{Bài 189}}$: Cho $x^{2}+y^{2}=1$.Tìm GTLN: A=$2x+y^{5}$

Bài 191 Từ GT suy ra: $(\sum x)^{3}\geq 27xyz\geq 12(\sum x)+16 \Rightarrow P\geq 4$

Vậy $minP=4$ khi $x=y=z=\frac{4}{3}$.




#731829 [TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUY...

Gửi bởi PDF trong 15-03-2020 - 16:38

 

$\boxed{\text{Bài 195}}$: Cho $x>y\geq 0$.CMR: $x+\frac{4}{(x-y)(y+1)^{2}}\geq 3$

Bài 195: Áp dụng BĐT AM-GM:

$VT=x+\frac{8}{(2x-2y)(y+1)(y+1)}\geq x+\frac{27}{(x+1)^{3}}=3.\frac{x+1}{3}+\frac{27}{(x+1)^{3}}-1\geq 3$ (đpcm)

Dấu bằng xảy ra chỉ khi $x=2;y=1$




#731823 [TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUY...

Gửi bởi PDF trong 15-03-2020 - 16:03

 

$\boxed{\text{Bài 192}}$: Cho a,b,c>0.CMR: $(\frac{3}{2}+\frac{a}{b+c})(\frac{3}{2}+\frac{b}{c+a})(\frac{3}{2}+\frac{c}{a+b})\geq 8$

Bài 192: BĐT tương đương với: $(3+\frac{2a}{b+c})(3+\frac{2b}{c+a})(3+\frac{2c}{a+b})\geq 64$

Đặt $x=\frac{2a}{b+c};y=\frac{2b}{c+a};z=\frac{2c}{a+b}$

$\Rightarrow yz+zx+xy+xyz=4$. Ta cần c/m: $(3+x)(3+y)(3+z)\geq 64$

$\Leftrightarrow 2(yz+zx+xy)+9(x+y+z)\geq 33$     (Đúng do $xyz\leq 1;yz+zx+xy\geq 3;x+y+z\geq 3$)

Dấu bằng xảy ra chỉ khi $a=b=c$




#731783 [TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUY...

Gửi bởi PDF trong 14-03-2020 - 20:25

Sau đây mình xin đề xuất bài toán:

$ \boxed{\text{Bài 191}} $ Cho $a,b,c\geq 0, a+b+c=1$. Chứng minh rằng

$$a)\frac{1-a^{2}}{2a^{2}-a+1-2bc}+\frac{1-b^{2}}{2b^{2}-b+1-2ca}+\frac{1-c^{2}}{2c^{2}-c+1-2ab}\leq 4$$

$$b)\frac{a^{2}}{2a^{2}-a+1-2bc}+\frac{b^{2}}{2b^{2}-b+1-2ca}+\frac{c^{2}}{2c^{2}-c+1-2ab}\leq \frac{1}{2}$$




#731781 [TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUY...

Gửi bởi PDF trong 14-03-2020 - 19:47

AM-GM chỉ áp dụng cho số dương, bạn đánh giá khi chưa chỉ ra dương hay không ? Thứ ghi điểm bài này là điều kiện đó đấy bạn.

Mong bạn trình bày rõ ràng hơn cho mọi người tham khảo. 

Nãy bận quá, bây giờ mới vào được. Sau đây là lời giải hoàn chỉnh:

Theo BĐT AM-GM: $xyz=\sum x^{2}>2yz\Rightarrow x>2$. Từ đó suy ra $x,y,z\in (2;4)$

Áp dụng BĐT AM-GM: $VT=\sum \sqrt{(x-2)(4-y)}\leq \frac{1}{2}\sum (x-2+4-y)=3$ (đpcm).

Dấu bằng xảy ra chỉ khi $x=y=z=3$.




#731778 [TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUY...

Gửi bởi PDF trong 14-03-2020 - 17:25

Em xin phép góp thêm mấy bài sau:

$\boxed{\text{Bài 190}}$ Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng

$$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}+5\geq (a+b)(b+c)(c+a)$$

Bài 190 BĐT tương đương với:

$3\sum \sqrt[3]{a}+15\geq 3(b+c)(c+a)(a+b)$

$\Leftrightarrow \sum a^{3}+3\sum \sqrt[3]{a}\geq 12$

Áp dụng BĐT AM-GM: $VT=\sum{(a^{3}+3\sum \sqrt[3]{a})}\geq 4\sum {a}=12$ (đpcm)

Dấu bằng xảy ra chỉ khi $a=b=c=1$.
 




#731776 [TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUY...

Gửi bởi PDF trong 14-03-2020 - 17:13

AM-GM chỉ áp dụng cho số dương, bạn đánh giá khi chưa chỉ ra dương hay không ? Thứ ghi điểm bài này là điều kiện đó đấy bạn.

Mong bạn trình bày rõ ràng hơn cho mọi người tham khảo. 

Để mình suy nghĩ thêm. Cảm ơn bạn. Mình cũng không để ý lắm.




#731770 [TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUY...

Gửi bởi PDF trong 14-03-2020 - 16:12

Topic có vẻ yên ắng nên mình xin đóng góp vài bài cho các bạn luyện tập.

$ \boxed{\text{Bài 184}} $ Cho $ x,y,z $ dương thỏa mãn $\underline{x^2 + y^2 + z^2 = xyz} $. Chứng minh rằng

$$ \sqrt{(x-2)(4-y)} + \sqrt{(y-2)(4-z)} + \sqrt{(z-2)(4-x)} \leq 3 $$

Bài 184: Áp dụng trực tiếp BĐT AM-GM 2 số ta có ĐPCM

Dấu bằng xảy ra chỉ khi $x=y=z=3$

 

P/s: Điều kiện của đề để làm gì vậy bạn ???