PDF

Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi $a,b,c$ không âm

$$(a+b+c)^{6}\geq 729a^{2}b^{2}c^{2}+108(b-c)^{2}(c-a)^{2}(a-b)^{2}.$$

PS: Bài này tôi từng thấy trên diễn đàn, nhưng hình như chưa có ai giải.

Đặt $t=12\sqrt{81x^{2}+96}-108x$. Tính $$I=\int_{-3}^{0}\left(\frac{\sqrt[3]{t}}{6}-\frac{4}{\sqrt[3]{t}}\right)\mathrm{d}x.$$

Tìm $a,b,c,d,e,f$ để ma trận bên dưới bán xác định dương:

$\begin{pmatrix} 1&-\dfrac{3}{2}&0&a&-b&c\\ -\dfrac{3}{2}&-2a+2&b&0&-d&-e\\ 0&b&-2c+2&d&e&-\dfrac{3}{2}\\ a&0&d&1&-\dfrac{3}{2}&f\\ -b&-d&e&-\dfrac{3}{2}&-2f+2&0\\ c&-e&-\dfrac{3}{2}&f&0&1 \end{pmatrix}$

Cho em hỏi có thuật toán chung nào để tìm các tham số sao cho một ma trận vuông đối xứng là bán xác định dương không ạ ?

Cho $a,b,c\geq 0$. Chứng minh rằng

$$\frac{a(2a+b+c)}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b(2b+c+a)}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c(2c+a+b)}{a^{2}+b^{2}}\geq 6.$$

PS: Có lời giải đẹp bằng BĐT Cauchy-Schwarz.

(xlzbq) Cho $a,b,c\geq 0$ có tổng bằng $1$. Chứng minh rằng

$$\dfrac{b+c}{a^{2}+1}+\dfrac{c+a}{b^{2}+1}+\dfrac{a+b}{c^{2}+1}\geq \frac{9}{5}.$$

PS: Lâu lâu không vào VMF, đăng tí cho vui