HuynhGiao184

Dạng tổng quát của bđt Cauchy Schwarz cho bộ 3 số là $\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$

Cảm ơn bạn, nhưng chỗ (a+b+c)^2 là (x+y+z)^2 mới đúng phải không?

Mình nghĩ bạn ấy chưa hiểu đc dấu $\sum$ 

Mình cũng có 1 cách giải khá là hay

Ta có: Vì $x, y, z>0$ nên chia cả 2 vế của điều kiện cho $xyz$ ta có $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=3$

Và điều cần chứng minh trở thành $\frac{1}{x^3(\frac{1}{y}+\frac{2}{z})}+\frac{1}{y^3(\frac{1}{z}+\frac{2}{x})}+\frac{1}{z^3(\frac{1}{x}+\frac{2}{y})}\geq 1$

Khi đó: Đặt $\frac{1}{x}=a$, $\frac{1}{y}=b$, $\frac{1}{z}=c$

ĐK $<=> ab+bc+ca=3$

Điều cần chứng minh <=> $\frac{a^3}{b+2c}+\frac{b^3}{c+2a}+\frac{c^3}{a+2b}\geq 1 <=>\frac{a^4}{ab+2ac}+\frac{b^4}{bc+2ab}+\frac{c^4}{ac+2bc}\geq 1$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có  $\frac{a^4}{ab+2ac}+\frac{b^4}{bc+2ab}+\frac{c^4}{ac+2bc}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3(ab+bc+ca)}\geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{3(ab+bc+ca)}=1$

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra $<=>a=b=c=1<=>x=y=z=1$

phần áp dụng bđt cauchy-schwarz thì mình chưa hiểu.     

cảm ơn bạn nhiều nha!!!

bạn có cách giải dành cho học sinh lớp 9 không???

Ta có $\sum \frac{yz}{x^{3}(z+2y)}=\frac{1}{2}\sum (\frac{yz}{x^{3}(z+2y)}+\frac{zx}{y^{3}(x+2z)})\geq\frac{1}{2}\sum 2\frac{z}{xy\sqrt{(z+2y)(x+2z)})}=\sum 2\frac{z}{xy2\sqrt{(z+2y)(x+2z)}}$ $\geq \sum \frac{2z}{xy(z+2y+x+2z)}=\sum \frac{2z^{2}}{xyz(3z+2y+x)}\geq \frac{2(x+y+z)^{2}}{6xyz(x+y+z)}=\frac{2(x+y+z)^{2}}{2(x+y+z)(x+y+z)}=1$

Dấu = xảy ra khi x=y=z=1

cảm ơn bạn nhiều nha!!!

À, mình quên mất      , biểu thức đó lớn hơn hoặc bằng 1 nha!!!