Gammaths11

b,$x^{2}+x(3-2y)+(2y^{2}-3y+2)$

$\Rightarrow \Delta =(3-2y)^{2}-4(2y^{2}-3y+2)= 1-4y^{2}$

để pt có nghiệm nguyên$\Delta$ phải là số chính phương$\Rightarrow 1-4y^{2}=k^{2}(k \epsilon\mathbb{N} )\Leftrightarrow 1=4y^{2}+k^{2}=0+1\Rightarrow y=0$

$P=\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}$

đặt S=xy+xy

áp dụng bđt holder cho 3 dãy ta có :

$P^{2}.S\geq (x+y)^{3}\doteq (x+y)(x+y)^{2}\geq 4xy(x+y)= 2.(2xy)\doteq 2S$

$\Rightarrow P^{2}\geq 2\Rightarrow P\geq \sqrt{2}$

sao lại thế này ạ ?

dùng cauchy-schwarz dạng engel

bài 23: $\sum \frac{3a+b}{2a+c}=3+\sum \frac{a+b-c}{2a+c}$

bđt $\Leftrightarrow \sum \frac{a+b-c}{2a+c}\geq 1$

ta có: $\sum \frac{a+b-c}{2a+c}= \sum \frac{(a+b-c)^{2}}{(a+b-c)(2a+c)}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sum (a+b-c)(2a+c)}\doteq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca}= 1$

bài 25: $\sum \frac{3\sqrt{bc}}{a+3\sqrt{bc}}\doteq 3-\sum \frac{a}{a+3\sqrt{bc}}\leq 3-\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}}{\sum a+3\sum \sqrt{bc}}\leq 3-\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}+\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}}{3}} =3-\frac{3}{4}=\frac{9}{4}$

bài 15: đặt vế trái là A 

 xét biểu thức B=$a(a^{2}+8bc)+b(b^{2}+8ac)+c(c^2+8ab)$

Áp dụng bất đẳng thức Holder với 3 dãy ta có:

A.A.B$\geq (a+b+c)^{3}$

ta cần chứng minh $(a+b+c)^{3} \geq B$ 

$\Leftrightarrow (a+b+c)^{3}\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}+24abc \Leftrightarrow c(a-b)^{2}+a(b-c)^{2}+b(c-a)^{2}\geq 0$

áp dung bđt bunhia: $VT^{2}\leq 3\left (\sum \frac{1}{a^{2}+1} \right )\Leftrightarrow \frac{VT^{2}}{3}\leq 3-\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+1}\leq 3-\frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+3}= 3-\frac{(a+b+c)^{2}}{4}$

ta phải chứng minh $\frac{VT^{2}}{3}\leq \frac{VP^{2}}{3}$

$\Leftrightarrow 3-\frac{(a+b+c)^{2}}{4}\leq \frac{27}{4(a+b+c)^{2}} \Leftrightarrow \frac{27}{4(a+b+c)^{2}}+\frac{(a+b+c)^{2}}{4}\geq 3$

Ta có :$[\frac{9}{4(a+b+c)^{2}}+\frac{(a+b+c)^{2}}{4} ]+\frac{9}{2(a+b+c)^{2}}\geq \frac{3}{2}+\frac{9}{2.3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}= \frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3$

tui nghx là trước tiên nên mua sách tài liệu chuyên toán

câu 3 bạn có ghi sai đề ko vậy

điểm A là điểm tiếp xúc của 2 đường tròn 

Cho em hỏi A là điểm j ạ ?

+ qua A dựng đường thẳng d tiếp vuống góc với O1O2 tại A,lấy I thuộc d 
+ dựng IC,ID lần lượt là tiếp tuyến của O1 và O2 
+ gọi O3 là giao điểm của O1C và O2D,dựng đường tròn tâm O3 bán kính O3C (hoạc O3D) => O3 là đường tròn cần tìm 

xét n=$3k+1$ ta có:$A=1+2^{n}+4^{n}=1+2^{3k+1}+4^{3k+1}=\left ( 2^{3k}+1 \right )^{2}+3.4^{3k}$

theo fermat nhỏ $2^{3k}\equiv 2(mod 3)$$\Rightarrow A\vdots 3$ mà A>1 => A ko phải số nguyên tố (loại)

xét n=$3k+2$ ta có: 2A=$2(1+2^{3k+2}+4^{3k+2})$=$\left ( 1+2^{3k+2} \right )^{2}+4^{3k+2}+1=\left ( 1+4.2^{3k} \right )^{2}+16.4^{3k}+1\vdots 3$ mà (2,3)=1$\Rightarrow A\vdots 3\Rightarrow$ Ako phải số nguyên tố (loại)

=>n=$3k$ rồi xét các TH k=3a+1 3a+2 =>k=3a  

câu 5: cm bđt sau bằng phương pháp tương đương là ra :

 $\frac{1}{4-a}\geq \frac{a^{2}+4}{16}$

$\Leftrightarrow \frac{a(a-2)^{2}}{16(4-a)}\geq 0$ đúng

dấu "=" khi a=b=c=2

$2a^{2}+b^{2}+3=(a^{2}+b^{2})+\left ( a^{2}+1 \right )+2\geq 2ab+2a+2$

$VT\leq \frac{1}{\sqrt{2a+2ab+2}}+\frac{1}{\sqrt{2b+2bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{2c+2ac+2}}$

$\RightarrowVT^{2}\leq 3\left ( \frac{1}{2a+2ab+2}+\frac{1}{2b+2bc+2}+\frac{1}{2c+2ac+2} \right )\leq \frac{3}{2}$

VT$\geq 3 \sqrt[3]{\sum \left ( 1+\frac{1}{a} \right )^{4}}$

xét $\sum \left ( 1+\frac{1}{a} \right )=1+\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )+\left ( \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac} \right )+\frac{1}{abc}\geq 1+3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}+3\sqrt[3]{\frac{1}{(abc)^{2}}}+\frac{1}{abc}=\left ( 1+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}} \right )^{3}$

=>VT$3\left ( 1+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}} \right )^{4}\geq 3\left ( 1+\frac{3}{2+abc} \right )^{4}$