FireGhost

Xét $n = 1$ $\Rightarrow n^4+n^3+1=3$ không là số chính phương.

Xét $n = 2$ $\Rightarrow n^4+n^3+1=25=5^2 \Rightarrow n = 2$ thỏa mãn bài toán.

Xét $n > 2:$

Đặt $k=n^4+n^3+1(k\epsilon Z^+)$. Ta có: 

$$4k-(2n^2+n-1)^2=3n^2+2n+3>0(do\ n\epsilon Z^+)$$

$$\Leftrightarrow 4k>(2n^2+n-1)^2$$

và

$$(2n^2+n)^2-4k=n^2-4>0$$

$$\Leftrightarrow 4k<(2n^2+n)^2$$

Từ 2 điều trên, ta được $(2n^2+n-1)^2<4k<(2n^2+n)^2$, hay $4k$ không phải là số chính phương, kéo theo đó $k$ không phải là số chính phương với mọi $n>2$.

Vậy $n = 2$.

Mong mọi người nhận xét cách trình bày của em để em rút kinh nghiệm khi đi thi ạ! Em cảm ơn ^^

Từ giả thiết: $$a+b+c=0$$

$$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0$$

$$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=-2ab-2bc-2ca$$

$$\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^2=(-2ab-2bc-2ca)^2$$

$$\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^2=(2ab+2bc+2ca)^2$$

Ta có: $$a+b+c=0$$

$$\Leftrightarrow 8abc(a+b+c)=0$$

$$\Leftrightarrow 4a^2b^2+4b^2c^2+4c^2a^2+8a^2bc+8ab^2c+8abc^2=4a^2b^2+4b^2c^2+4c^2a^2$$

$$\Leftrightarrow (2ab+2bc+2ca)^2=4a^2b^2+4b^2c^2+4c^2a^2$$

$$\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^2=4a^2b^2+4b^2c^2+4c^2a^2$$

$$\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2$$

$$\Leftrightarrow 2(a^4+b^4+c^4)=a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2$$

$$\Leftrightarrow 2(a^4+b^4+c^4)=(a^2+b^2+c^2)^2$$

$\Rightarrow 2(a^4+b^4+c^4)$ là số chính phương.

Mong mọi người nhận xét cách trình bày của em để em rút kinh nghiệm khi đi thi ạ! Em cảm ơn ^^