mysterious

b1. Tìm $a$ để hệ sau có nghiệm với $\forall b$:

$\left\{ \begin{array}{l}
(x^2 + 1)^a + (b^2 + 1)^y = 2 \\
a + bxy + x^2 y = 1 \\
\end{array} \right$

b2. Giải bpt:

$\log _3 (4.3^x - 1) \ge 2x + \log _3 4^{x^2 + 1} $

b3. Tìm $x $để pt sau đúng với $\forall a$:

$\log _2 (a^2 x^3 - 5a^2 x^2 + \sqrt {6 - x} ) = \log _{2 + a^2 } (3 - \sqrt {x - 1} )$

Trong các nghiệm $(x;y)$ của bất phương trình: $\log _{x^2 + y^2 } (x + y) \ge 1$, tìm nghiệm để $(x+2y)$ max

Cho A,B,C là 3 góc 1 tam giác. CMR:
$\sin \dfrac{{A + 3B}}{2}.\sin \dfrac{{B + 3C}}{2}.\sin \dfrac{{C + 3A}}{2} \ge \sin A.\sin B.\sin C$

Có 1 số công thức tổng quát này, ai có chứng minh gọn thì giúp em với:

1. $\sin (2k + 1)A + \sin (2k + 1)B + \sin (2k + 1)C = ( - 1)^k. 4.\cos (2k + 1)\dfrac{A}{2}.\cos (2k + 1)\dfrac{B}{2}.\cos (2k + 1)\dfrac{C}{2}$

2. $\sin 2kA + \sin 2kB + \sin 2kC = ( - 1)^{k + 1} .4.\sin kA.\sin kB.\sin kC$

3.$\cos (2k + 1)A + \cos (2k + 1)B + \cos (2k + 1)C = 1 + ( - 1)^k .4.\sin (2k + 1)\dfrac{A}{2}.\sin (2k + 1)\dfrac{B}{2}.\sin (2k + 1)\dfrac{C}{2}$

4.$c{\rm{os}}2kA + c{\rm{os}}2kB + c{\rm{os}}2kC = - 1 + ( - 1)^k .4.\cos kA.\cos kB.\cos kC$

E cảm ơn!

Bài 1: Tìm a để hệ sao có nghiệm $(x;y)$ thỏa mãn $ x \geq 4$

$\left\{\begin{\sqrt{x}+\sqrt{y}=3}\\{\sqrt{x+5}+ \sqrt{y+3} \leq a$

Bài 2: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm

$\left\{\begin{3x^2+2x-1<0}\\{x^3+3mx+1<0$

Em đang học về phần ứng dụng sự biến thiên tìm điều kiện có nghiệm của pt, bpt ạ, mong mọi người giúp đỡ hoặc hướng dẫn sớm, em xin cảm ơn!