Khoipro999

Vì a + b + c + d = 0 nên a + b = -(c+d) 

$\Leftrightarrow (a+b)^3 = -(c+d)^3$

$\Leftrightarrow (a+b)^3 + (c+d)^3 = 0$

$\Leftrightarrow a^3 + b^3 + 3ab(a+b) + c^3 + d^3 + 3cd(c+d) = 0$

$\Leftrightarrow a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = -3[ab(a+b)+cd(c+d)]$ 

Mà a+b = -(c+d) $\Rightarrow a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = -3(ab-cd)(a+b) = 3(ab-cd)(c+d)$

( đpcm ) 

Cho x,y,z>0. Chứng minh rằng: xy/(x+y) +yz(y+z) +zx/(z+x)<= (x+y+z)/2

GIúp với ạ!

Ta có : Do x ; y ; z > 0 nên : 

$\frac{xy}{x+y} + \frac{yz}{y+z} + \frac{xz}{x+z} = \frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} + \frac{1}{\frac{1}{z}+\frac{1}{y}} + \frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{z}}$

Đặt 1/x = a ; 1/y = b ; 1/z = c (a;b;c>0 do x ; y ; z > 0)

=> x + y + z = 1/a + 1/b + 1/c

Khi đó , ta cần c/m : $\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{a+c} \leq \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{2}$

 Áp dụng BĐT phụ : 1/x + 1/y >= 4/x+y ( cái này bn tự c/m )  , ta có : 

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b} ; \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{4}{b+c} ; \frac{1}{a} + \frac{1}{c} \geq \frac{4}{a+c}$

$\Rightarrow 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 4(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c})$

$\Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 2(\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c }+\frac{1}{a+c})$

=> điều cần c/m 

Dấu " = " xảy ra <=> a = b = c

hay 1/x = 1/y = 1/z <=> x = y = z 

Vậy ... 

quan trọng là quyển lớp mấy, tập mấy để mình tìm

Tập 2 nhé bn . 

Chứng minh rằng không có ba số dương $a,b,c$ thoả mãn cả ba bất đẳng thức:

$a+\frac{1}{b}<2; b+\frac{1}{c}<2;c+\frac{1}{a}<2$

Dạng bài kiểu này hay có trong Nâng cao phát triển , bn có thể tìm và tham khảo 

Cho $a, b, c$ là ba cạnh của một tam giác.

Chứng minh: $\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Do a ; b ; c là 3 cạnh $\Delta \Rightarrow a+b-c > 0 ; b + c - a > 0 ; a + c - b > 0$

AD BĐT phụ $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}$ ( bn tự c/m ) , ta có : 

$\frac{1}{a+b-c} + \frac{1}{b+c-a} \geq \frac{4}{a+b-c+b+c-a} = \frac{2}{b}$  (1) 

Tương tự : $\frac{1}{a+b-c} + \frac{1}{a+c-b} \geq \frac{2}{a}$  (2) 

$\frac{1}{b+c-a} + \frac{1}{a+c-b} \geq \frac{2}{c}$  (3)

Từ (1) ; (2) ; (3) , ta có : $2(\frac{1}{a+b-c} + \frac{1}{b+c-a} + \frac{1}{c+a-b}) \geq 2(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})$

$\Rightarrow \frac{1}{a+b-c} + \frac{1}{b+c-a} + \frac{1}{c+a-b} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

Dấu " = " xảy ra <=> a + b - c = b + c - a = c + a - b 

<=> a = b = c 

Vậy ...