supreme king

Cho x,y,z thõa mãn

$x\left ( x-1 \right )+y\left ( y-1 \right )+z\left ( z-1 \right )\leq \frac{4}{3}$

Chứng minh rằng

$x+y+z\leq 4$

Cho$x,y\geq 0$ và$x^{2}+y^{2}\doteq 1$. Chứng minh rằng

$\frac{1}{\sqrt{2}}\leq x^{3}+y^{3}\leq 1$

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{2a+b}{a\left ( a+2b \right )}+\frac{2b+c}{b\left ( b+2c \right )}+\frac{2c+a}{c\left ( c+2a \right )}$

Cho $a> b> c> 0$. Chứng minh rằng

$a^{3}b^{2}+b^{3}c^{2}+c^{3}a^{2}> a^{2}b^{3}+b^{2}c^{3}+c^{2}a^{3}$

Cmr:

$-\frac{1}{2}\leq \frac{\left ( a+b \right )\left ( 1-ab \right )}{\left ( 1+a^{2} \right )\left ( 1+b^{2} \right )}\leq \frac{1}{2}$