Javascript bị vô hiệu

Javascript bị vô hiệu, một vài chức năng sẽ không hoạt động. Vui lòng bật lại Javascript để sử dụng đầy đủ các chức năng.

Roses Cremple

Đăng ký: 28-06-2019
Offline Đăng nhập: 17-03-2023 - 14:37

Tìm kiếm

Received

#732572 Nguyên hàm đa biến

Gửi bởi Roses Cremple trong 29-01-2022 - 15:44

Sau đây mình sẽ giới thiệu cho mọi người một phương pháp giúp tính nguyên hàm của một hàm đa biến khi biết đạo hàm của nó và một hàm điều kiện. Một hàm đa biến khi đạo hàm sẽ bẳng tổng đạo hàm của các biến. Với 2 biến $x$ và $y$:

$$f'(x,y) = f'(x) + f'(y)$$

Khi có đạo hàm của hàm đa biến, việc tính nguyên hàm khá là "bế tắc". Nhưng không gì là không thể! Ta chỉ cần có đạo hàm và một hàm điều kiện $f(x_0;y)$ hay $f(x,y_0)$ với $\left\{ {{x_0};{y_0}} \right\} \in \mathbb{R} $

Để dễ hiểu, ta sẽ giải ví dụ sau:

Xác định hàm số $f(x,y)$ biết:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f'(x,y) = 4y + 2x}\\{f(x,0) = 0}\end{array}} \right.$

Giải

Bước 1: Tạo phương trình biến đồng dạng

Ta có $f(x,0) = 0 \Leftrightarrow f({x_0}{\rm{,}}{{\rm{y}}_0}) = 0$

Phương trình biến đồng dạng:

$\begin{array}{l}\to x - y = {x_0} - {y_0}\\\Leftrightarrow x - y = {x_0}\end{array}$ Với $y_0=0$

Bước 2: Thế phương trình biến đồng dạng để giảm biến

$\to y = x - {x_0}$

Thế $y$ vào phương trình đạo hàm ta sẽ chỉ còn một biến $x$:

$$f'(x,y) = 4(x - {x_0}) + 2x = 6x - 4{x_0}$$

Bước 3: Tính nguyên hàm

Tính nguyên hàm như bình thường:

$\begin{array}{l}f(x,y) = \int {f'(x,y)dx} + C = \int {6x - 4{x_0}dx} + C\\f(x,y) = 3{x^2} - 4x.{x_0} + C\end{array}$

Bước 4: Tìm $C$

Tìm hằng số $C$, dựa vào dữ kiện ${f(x,0) = 0}$. Thay $y = 0$ vào phương trình biến đồng dạng $\to x = {x_0}$

$\to f({x_0},0) = 3{x_0}^2 - 4{x_0}.{x_0} + C = 0 \to C = {x_0}^2$

$\to f(x,y) = 3{x^2} - 4x.{x_0} + {x_0}^2$

Bước 5: Sử dụng phương trình biến đồng dạng truy về phương trình gốc

Thay ${x_0} = x - y$

$\begin{array}{l}\to f(x,y) = 3{x^2} - 4x.(x - y) + {(x - y)^2}\\\leftrightarrow f(x,y) = 2xy + {y^2}\end{array}$

Đây là một phương pháp do mình tìm ra. Trên đây chỉ là một ví dụ, phương pháp này đúng và có thể áp dụng cho mọi hàm số, mong sự góp ý của mọi người. :icon6:

Hoang72 và huhuhuhu thích

#732520 Đạo hàm của giai thừa

Gửi bởi Roses Cremple trong 24-01-2022 - 19:34

Ừ mặc dù phát biểu không ổn chút nào nhưng mình tạm trả lời là $C$ là hằng số Euler-Mascheroni bạn nhé:
https://en.wikipedia...unction#General
https://en.wikipedia...heroni_constant
Nếu được thì bạn có thể trình bày làm sao mà bạn nghĩ ra cái này được không?! Mình khen cho bạn khi bạn có thể đi đến cái này khi mà không có đầy đủ công cụ cần thiết

Cảm ơn bạn đã trả lời giúp mình. Hằng số C bằng:

$$C = \int_{0^{+}}^{+\infty}\ln x.e^{-x}dx \simeq -0.577$$

Và có vẻ nó chính là số đối của hằng số Euler. Mình thực sự mới biết đến hằng số này cảm ơn bạn.

Thực ra, tuy không phải là một sinh viên nghành toán nhưng hồi năm nhất đại học mình có nghiên cứu một chút về chuỗi số và tìm được rất nhiều thứ tuyệt vời. Công thức trên thực sự được suy ra từ một công thức tổng quan hơn do mình tìm ra:

$$\left ( \prod_{n=a}^{x}f(n)\right )'= \left ( \prod_{n=a}^{x}f(n)\right ).\left ( C+\sum_{n=b}^{x} \frac{f'(n)}{f(n)}\right ); \left \{a,b\right \}\in \mathbb{R}$$

Với $f(n)=n$; $C$ là hằng số. Thế vào ta sẽ có đẳng thức về đạo hàm giai thừa như trên.

Ngoài phương trình này mình còn phát hiện thêm nhiều thứ thú vị hơn nữa nhưng cũng chưa biết nói với ai nên cũng bức bối lắm :lol: , nếu bạn muốn biết thêm thì kết bạn với mình nhé. Bên cạnh đó mình cũng rất muốn biết cách chứng minh của bạn. Cảm ơn.