Đến nội dung


Chú ý

Nếu bạn gặp lỗi trong quá trinh đăng ký thành viên, hoặc đã đăng ký thành công nhưng không nhận được email kích hoạt, hãy thực hiện những bước sau:

  • Đăng nhập với tên và mật khẩu bạn đã dùng kể đăng ký. Dù bị lỗi nhưng hệ thống đã lưu thông tin của bạn vào cơ sở dữ liệu, nên có thể đăng nhập được.
  • Sau khi đăng nhập, phía góc trên bên phải màn hình sẽ có nút "Gửi lại mã kích hoạt", bạn nhấn vào nút đó để yêu cầu gửi mã kích hoạt mới qua email.
Nếu bạn đã quên mật khẩu thì lúc đăng nhập hãy nhấn vào nút "Tôi đã quên mật khẩu" để hệ thống gửi mật khẩu mới cho bạn, sau đó làm theo hai bước trên để kích hoạt tài khoản. Lưu ý sau khi đăng nhập được bạn nên thay mật khẩu mới.

Nếu vẫn không đăng nhập được, hoặc gặp lỗi "Không có yêu cầu xác nhận đang chờ giải quyết cho thành viên đó", bạn hãy gửi email đến [email protected] để được hỗ trợ.
---
Do sự cố ngoài ý muốn, tất cả bài viết và thành viên đăng kí sau ngày 08/08/2019 đều không thể được khôi phục. Những thành viên nào tham gia diễn đàn sau ngày này xin vui lòng đăng kí lại tài khoản. Ban Quản Trị rất mong các bạn thông cảm. Mọi câu hỏi hay thắc mắc các bạn có thể đăng vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để được hỗ trợ. Ngoài ra nếu các bạn thấy diễn đàn bị lỗi thì xin hãy thông báo cho BQT trong chủ đề Báo lỗi diễn đàn. Cảm ơn các bạn.

Ban Quản Trị.


Vitamin Love

Đăng ký: 22-07-2019
Offline Đăng nhập: 30-07-2019 - 19:09
-----

#724124 $ \boxed{TOPIC} $ Các bài toán hình học hướng đến Ol...

Gửi bởi Vitamin Love trong 23-07-2019 - 16:32

AP cắt $(I)$ tại K. Q đối xứng với K qua AM. FP cắt $(I)$ tại $R$

Do $AM.AI=AK.AP=AD^2$ nên KMIP nội tiếp. Do đó $\widehat{KMP}=\widehat{KIP}$ suy ra $\widehat{KMP}+\widehat{KMA}+\widehat{AMQ}=\widehat{KIP}+2\widehat{KPI}=180^0$ nên P, M, Q thẳng hàng.

Do vậy nên ta có: $\frac{DM}{MP}=\frac{ME}{MP}=\frac{QE}{DP}=\frac{DK}{DP}=\frac{DA}{PA}=\frac{DA}{FP}$ (1)

Mặt khác,do F đối xứng với A qua DP nên DP là phân giác $\widehat{RPK}$ suy ra $DR=DK=QE$ và $DE=RQ$

Do đó: $\widehat{RPM}=\widehat{ADM}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác FPM đồng dạng với tam giác ADM nên $\widehat{FMP}=\widehat{AMD}=90^0$.

Bài 2: Cho tam giác $ABC$ và $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp. Một đường thẳng d bất kỳ đi qua $O$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $M$ và $N$. Gọi $I,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $MN,BN,CM$. Chứng minh 4 điểm $O,I,P,Q$ cùng nằm trên một đường tròn.

P/s: Ai biết xuất xứ bài toán này không cho mình biết với....

 

 

AP cắt $(I)$ tại K. Q đối xứng với K qua AM. FP cắt $(I)$ tại $R$

Do $AM.AI=AK.AP=AD^2$ nên KMIP nội tiếp. Do đó $\widehat{KMP}=\widehat{KIP}$ suy ra $\widehat{KMP}+\widehat{KMA}+\widehat{AMQ}=\widehat{KIP}+2\widehat{KPI}=180^0$ nên P, M, Q thẳng hàng.

Do vậy nên ta có: $\frac{DM}{MP}=\frac{ME}{MP}=\frac{QE}{DP}=\frac{DK}{DP}=\frac{DA}{PA}=\frac{DA}{FP}$ (1)

Mặt khác,do F đối xứng với A qua DP nên DP là phân giác $\widehat{RPK}$ suy ra $DR=DK=QE$ và $DE=RQ$

Do đó: $\widehat{RPM}=\widehat{ADM}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác FPM đồng dạng với tam giác ADM nên $\widehat{FMP}=\widehat{AMD}=90^0$.

Bài 2: Cho tam giác $ABC$ và $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp. Một đường thẳng d bất kỳ đi qua $O$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $M$ và $N$. Gọi $I,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $MN,BN,CM$. Chứng minh 4 điểm $O,I,P,Q$ cùng nằm trên một đường tròn.

P/s: Ai biết xuất xứ bài toán này không cho mình biết với....

 

Kẻ đường kính BE CF.
Ta có NE // OP  MF // OQ
=> ∠EKF = ∠POQ (1)
Lại có K thuộc (O) theo định lí pascal ( K là giao của EN và FM )
=> ∠EKF = ∠BAC = ∠PIQ (2)
Từ (1) và (2) => ∠PIQ = ∠EKF => ĐPMC
( bài này xuất phát từ IMO 2009 )
Bài toán 3: Cho tam giác ABC nhọn nt (O) đường tròn (K) đi qua BC cắt AC AB tại E F, BE CF cắt tại H. P là điểm tùy ý trên AH. (APB) (APC) cắt BE CF tại M, N. X, Y, Z theo thứ tự là tâm đường tròn (APB) (APC) (BMC). Q, R là tâm (XYZ) (MNP). Chứng minh: QR // AP, (XYZ) (MNP) đồng tâm (khi K thuộc BC)