Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Thanhlongviemtuoc

Đăng ký: 29-07-2019
Offline Đăng nhập: 14-05-2020 - 20:48
-----

#731184 [TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUY...

Gửi bởi Thanhlongviemtuoc trong 03-03-2020 - 10:49

Ta có: $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq \sqrt[3]{\frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$

           $\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq \sqrt[3]{\frac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$

Cộng vế theo vế ta được

$3\geq 3.\frac{1+\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$

$\Rightarrow $ đpcm

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Cái này là holder r mà ?

*Là Bất đẳng thức Holder, nhưng đi thi em vẫn phải chứng minh lại mà nhỉ ? 




#730820 [TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUY...

Gửi bởi Thanhlongviemtuoc trong 24-02-2020 - 18:04

Xin đề xuất bài toán rất hay!

$\boxed{\text{Bài 77}}$ Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $5a^2+2abc+4b^2+3c^2 =60$. Tìm giá trị lớn nhất biểu thức

$$A=a+b+c$$

Suggestions

 

P/s: Em suy nghĩ bài này $2$ ngày mới ra đó, nên em đăng bài này sau $2$ ngày không có lời giải thì em mới đăng lời giải của em :D

Bài này nguồn là đề thi vào 10 Thanh Hóa

$Pt\Rightarrow 4b^2< 60;3c^2< 60\Rightarrow (15-b^2)> 0;(20-c^2)> 0$

$Pt\Leftrightarrow 5a^2+2bc.a+4b^2+3c^2-60=0$

Coi đây là pt bậc 2 đối vs ẩn a và b,c là tham số ta được:

$\Delta '=(bc)^2-5(4b^2+3c^2-60)=(15-b^2)(20-c^2)>0$

Do a>0 nên pt có nghiệm là:  $a=\frac{-bc+\sqrt{(15-b^2)(20-c^2)}}{5}\leq \frac{-bc+\frac{1}{2}(15-b^2+20-c^2)}{5}=\frac{-(b+c)^2+35}{10}$

$\Rightarrow a+b+c=\frac{-(b+c)^2+10(b+c)+35}{10}=\frac{-(b+c-5)^2+60}{10}\leq \frac{60}{10}=6$

Dấu '=' xảy ra $\Leftrightarrow a=1,b=2,c=3$




#730714 [TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUY...

Gửi bởi Thanhlongviemtuoc trong 22-02-2020 - 21:20

Mình xin góp tiếp bài toán sau:

$ \boxed{\text{Bài 70}} $ Cho a,b,c>0.Chứng minh rằng

$$\sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}}\geq \sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}$$

Ta có $(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq \frac{8}{27}\sqrt{(ab+bc+ca)^3}$

$\Rightarrow $ ĐPCM.




#730707 [TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUY...

Gửi bởi Thanhlongviemtuoc trong 22-02-2020 - 20:44

Mình xin góp thêm bài toán sau:

$ \boxed{\text{Bài 69}} $ Cho $ a,b,c>0  $ thỏa mãn $a^{3}+b^{3}=c^{3}$. Chứng minh rằng

            $$a^{2}+b^{2}-c^{2}>6(c-a)(c-b)$$

Từ gt suy ra $(\frac{a}{c})^3+(\frac{b}{c})^3=1$

Đặt: $x=\frac{a}{c};y=\frac{b}{c}\Rightarrow x^3+y^3=1 (0<x,y<1)$

Chia 2 vế của bđt cần cm cho $c^2>0$ ta được:

$\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}-1>6(1-\frac{a}{c})(1-\frac{b}{c})$

Từ đó trở thành: $x^2+y^2-1>6(1-x)(1-y)$

Lại có: $GT\Rightarrow x^3y^3=(1-y^3)(1-x^3)=(1-x)(1-y)(1+x+x^2)(1+y+y^2)$

$1+x+x^2\geq 3x;1+y+y^2\geq 3y$

$\Rightarrow x^3y^3\geq 9xy(1-x)(1-y)\Rightarrow xy\geq 3\sqrt{(1-x)(1-y)}$

Lại từ GT ta được: $x^2+y^2-1=x^2+y^2-x^3-y^3=x^2(1-x)+y^2(1-y)\geq 2xy\sqrt{(1-x)(1-y)}\geq 6(1-x)(1-y)$

Do dấu "=" của BĐT ko xảy ra nên ta dc ĐFCM




#730610 [TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUY...

Gửi bởi Thanhlongviemtuoc trong 21-02-2020 - 17:59

$\boxed{\text{Bài 51}}$ Cho $\left\{\begin{matrix}a,b,c>0 & & \\ a+b+c=3abc & & \end{matrix}\right.$ Chứng minh rằng

$\frac{a+2b}{\sqrt{b^{2}+2ca+6}}+\frac{b+2c}{\sqrt{c^{2}+2ab+6}}+\frac{c+2a}{\sqrt{a^{2}+2bc+6}}\geq 3$

Ta có:  $\frac{a+2b}{\sqrt{b^{2}+2ca+6}}\geq \frac{a+2b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+6}}$

$\Rightarrow \sum \frac{a+2b}{\sqrt{b^{2}+2ca+6}}\geq \frac{3(a+b+c)}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+6}}$

Suy ra ta cần cm: $\frac{a+b+c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+6}}\geq 1 \Leftrightarrow (a+b+c)^2\geq a^2+b^2+c^2+6$

Lại có $(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq 9abc \Rightarrow 3abc(ab+bc+ca)\geq 9abc \Rightarrow ab+bc+ca\geq 3$

Từ đó ta có ĐPCM.




#730503 [TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUY...

Gửi bởi Thanhlongviemtuoc trong 20-02-2020 - 17:19

Em xin góp tiếp 

$\boxed{\text{Bài 39}}$ Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $3(a+b+c)=abc$

Chứng minh 

$$\frac{b}{a^{2}}+\frac{c}{b^{2}}+\frac{a}{c^{2}}\geq (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}$$

 

Đặt $\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z$

GT $\Rightarrow xy+yz+xz=\frac{1}{3}$

BĐT $\Leftrightarrow \sum \frac{x^2}{y} \geq (\sum x)^2$

Ta có: $\sum \frac{x^2}{y}=\sum \frac{(x-y)^2}{y}+\sum x\geq \sum \frac{(x-y)^2}{y} + 1=\sum \frac{(x-y)^2}{y} + 3(xy+yz+xz)$

Ta cần cm: $\sum \frac{(x-y)^2}{y} + 3(xy+yz+xz)\geq (x+y+z)^2\Leftrightarrow 2\sum \frac{(x-y)^2}{y}\geq \sum (x-y)^2\Leftrightarrow \sum (x-y)^2(\frac{2}{y}-1)\geq 0$ (ĐÚNG)

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=3$




#730462 [TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUY...

Gửi bởi Thanhlongviemtuoc trong 19-02-2020 - 23:34

$\boxed{\text{Bài 29}}$ Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của

$$A=\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{c+a-b}+\frac{16c}{b+a-c}$$

 

Đặt: $b+c-a=x;c+a-b=y;b+a-c=z$

Bất đẳng thức trở thành: $\frac{4(y+z)}{x}+\frac{9(x+z)}{y}+\frac{16(x+y)}{z}=(\frac{4y}{x}+\frac{9x}{y})+(\frac{4z}{x}+\frac{16x}{z})+(\frac{9z}{y}+\frac{16y}{z})\geq 12+16+24=52$

Dấu $"="$ xảy ra khi $6x=4y=3z $




#730461 [TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUY...

Gửi bởi Thanhlongviemtuoc trong 19-02-2020 - 23:27

$\boxed{\text{Bài 28}}$ Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $xy=1$. Chứng minh rằng

$$ (x+y+1)(x^2+y^2)+\frac{4}{x+y}\geq8$$

 

$(x+y+1)(x^2+y^2)+\frac{4}{x+y}\geq (x+y+1).2+\frac{4}{x+y}=2(x+y)+\frac{8}{x+y}-\frac{4}{x+y}+2\geq 8-2+2=6$

P/s: God Đức căng thẳng quá :) khinh đi năm sau e vào Phan rồi có khi VMO rồi IMO cũng nên :D




#730452 [TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUY...

Gửi bởi Thanhlongviemtuoc trong 19-02-2020 - 22:02

$\boxed{\text{Bài 32}}$ Cho các số a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\sqrt{\frac{a}{2b+2c}}+\sqrt{\frac{b}{2c+2a}}+\sqrt{\frac{c}{2a+2b}}\geq 3$$

 

Ta có: $\sum \sqrt{\frac{a}{2b+2c}}=\sum \frac{a}{\sqrt{2a(b+c)}}\geq \sum \frac{2a}{2a+b+c}=3+2\sum \frac{a-b-c}{2a+b+c}\geq 3+\frac{1}{2} \sum (a-b-c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})=3+\frac{1}{2}\sum (\frac{a-b-c}{a+b}+\frac{b-c-a}{a+b})=3 -\sum \frac{c}{a+b}$




#730450 [TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUY...

Gửi bởi Thanhlongviemtuoc trong 19-02-2020 - 21:50

$\boxed{\text{Bài 27}}$ Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$$P=\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}$$

 

$\sum \frac{ab}{c+1}= \sum \frac{ab}{(a+c)+(b+c)}\leq \frac{1}{4} \sum( \frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c})=\frac{a+b+c}{4}=\frac{1}{4}$

Dấu "=" khi $a=b=c=\frac{1}{3}$




#730399 [TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUY...

Gửi bởi Thanhlongviemtuoc trong 19-02-2020 - 08:52

$\boxed{\text{Bài 13}}$ Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng

$$\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{c}+\frac{\sqrt{c^2+b^2}}{a}+\frac{\sqrt{a^2+c^2}}{b}\geq 2\left ( \frac{a}{\sqrt{b^2+c^2}} +\frac{b}{\sqrt{c^2+a^2}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right )$$

 

Em xin chém Bài 13

Ta có: $\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{c}\geq \frac{a+b}{\sqrt{2}.c}$

$\Rightarrow \sum \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{c}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b})=\frac{1}{\sqrt{2}}[\sum (\frac{a}{c}+\frac{a}{b})]$

Lại có: $\frac{a}{c}+\frac{a}{b}=\frac{(\sqrt{a})^2}{c}+\frac{(\sqrt{a})^2}{b}\geq \frac{4}{b+c}\geq \frac{4}{\sqrt{2(b^2+c^2)}}$

Từ mấy điều trên $\Rightarrow $ ĐPCM




#730374 [TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUY...

Gửi bởi Thanhlongviemtuoc trong 18-02-2020 - 20:40

$\boxed{\text{Bài 9}}$ Cho $m,n$ là 2 số tự nhiên sao cho$\sqrt{7}-\frac{m}{n}>0$

Chứng minh rằng $\sqrt{7}n-m>\frac{1}{m}$

 

Từ gt: $\sqrt{7}-\frac{m}{n}>0\Rightarrow \sqrt{7}>\frac{m}{n}\Rightarrow 7> \frac{m^2}{n^2}\Rightarrow 7n^2>m^2$

Vì m,n nguyên nên $7n^2\geq m^2+1$ Ta biết 1 số chính phương khi chia cho 7 chỉ có số dư thuộc tập {0,1,2,4} nên $7n^2\neq m^2+1, 7n^2\neq m^2+2$

$\Rightarrow 7n^2\geq m^2+3$ (1)

-Nếu m=1 thì $7n^2\geq 7>4 \Rightarrow \sqrt{7}> \frac{2}{n}=\frac{1}{mn}+\frac{m}{n} \ hay \ \sqrt{7}n-m>\frac{1}{m}$

-Nếu m>1 thì từ (1) suy ra $7n^2-m^2\geq 3> 2+\frac{1}{m^2} \Rightarrow 7n^2> m^2+\frac{1}{m^2}+2=(m+\frac{1}{m})^2$

Tức là $\sqrt{7}n> m+\frac{1}{m} \Rightarrow \text{ĐPCM}$




#730357 [TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUY...

Gửi bởi Thanhlongviemtuoc trong 18-02-2020 - 18:30

$\boxed{\text{Bài 1}}$ Chứng minh rằng với mọi số thực $a, b$ thì

$$\frac{a^4+b^4}{2}\geq(\frac{a+b}{2})^4$$

Đầu tiên với mọi số thực a,b thì ta đều có: $a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}$

Áp dụng: $a^4+b^4\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}\geq \frac{(a+b)^4}{8}$

$\Rightarrow$ ĐPCM




#730354 [TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUY...

Gửi bởi Thanhlongviemtuoc trong 18-02-2020 - 18:24

E xin góp Bài 5

Đặt $ x+y+z=p$ , $ xy+yz+zx=q$ , $\ xyz=r$
$ \text {BĐT} \Leftrightarrow p^{2}-3q+r\geq 8$ $ \Leftrightarrow 36-3q+r\geq 8\Leftrightarrow 28-3q+r\geq 0$
Ta sẽ đi CM :$28-3q+r\geq 0$ (1)
Ta có BĐT quen thuộc : $ (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\leq xyz$
Ta suy ra đc : $ r\geq \frac{4pq-p^{3}}{9}$ $ \Rightarrow r\geq \frac{8}{3}q+24$
Suy ra : $ VT\geq 28-3q+\frac{8}{3}q-24= 4-\frac{q}{3}$
Ta có BĐT quen thuộc : $ xy+yz+zx\leq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}= 12\Rightarrow q\leq 12$
Do đó : $ VT\geq 4-\frac{q}{3}\geq 4-\frac{12}{3}= 0$

$\Rightarrow$ (1) Đúng 

Dấu"=" xảy ra khi và chỉ khi $ x=y=z=2$ .




#730353 [TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUY...

Gửi bởi Thanhlongviemtuoc trong 18-02-2020 - 17:55

$\boxed{\text{Bài 2}}$ Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác. Chứng minh

$$ab+bc+ca\leq a^2+ b^2+c^2 \leq 2(ab+bc+ca)$$

 

E xin góp bài 2 ạ

$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geqslant 0$ (Luôn Đúng).

Dấu $"="$ khi $a=b=c$

Ta có: $a< b+c\Rightarrow a^2< ab+ac$ 

Tương tự: $b^2< ab+bc;c^2<ca+cb$

Cộng các BĐT cùng chiều ta được ĐPCM