Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


phucboyka7

Đăng ký: 01-08-2019
Offline Đăng nhập: 05-03-2020 - 19:14
-----

#730102 Mục các bài toán bất đẳng thức ( phần 2 )

Gửi bởi phucboyka7 trong 15-02-2020 - 23:06

Mục này mình xin giới thiệu các bài toán bất đẳng thức do mình sưu tầm mong các bạn cùng tham gia đóng góp lời giải ( khuyến khích giải bằng nhiều cách ).

Bài 1:Cho 3 số a,b,c dương thỏa mãn: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=1$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

                                            $P=\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}+\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}+\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+2a^2}}$

$\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}=\frac{1}{\sqrt{\left(2a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2}}\le \frac{1}{2a+b}\le \frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)$

 

Tương tự: 

$\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}=\frac{1}{\sqrt{\left(2b+c\right)^2+\left(b-c\right)^2}}\le \frac{1}{2b+c}\le \frac{1}{9}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$

 

$\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+2a^2}}=\frac{1}{\sqrt{\left(2c+a\right)^2+\left(c-a\right)^2}}\le \frac{1}{2c+a}\le \frac{1}{9}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)$

 

$\Rightarrow P\le \frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\le \frac{1}{3}.\sqrt{3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

 

$\Rightarrow Max_P=\frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}$




#728549 CM:FM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $II_{1}...

Gửi bởi phucboyka7 trong 24-12-2019 - 22:19

 

1)a)
Ta có $\triangle AHB \sim\triangle CAB$(g, g)
=>$\frac{AH}{AB} =\frac{CA}{CB}$ (1)
có $\triangle AHB \sim\triangle CHA$(g, g)
=>$\frac{AH}{AB} =\frac{CH}{CA}$ (2)
từ (1, 2) =>$\frac{AH}{AB} =\frac{CA}{CB} =\frac{CH}{CA}$
$=\frac{CA -CH}{CB -CA} =\frac{CE -CH}{CB -CE} =\frac{EH}{EB}$
=>AE là phân giác góc BAH
=>AE đi qua $I_1$ (đpcm)
Ta có $\widehat{CAF} +\widehat{FAI} =\widehat{IAC} =45^\circ$ (3)
và có $\widehat{CAF} +\widehat{ICF} =\frac{\widehat{CAH}}{2} +\frac{\widehat{ACF}}{2} =\frac{90^\circ}{2} =45^\circ$ (4)
từ (3, 4) =>$\widehat{IAF} =\widehat{ICF}$
=>IACF nội tiếp
=>$\widehat{IFE} =\widehat{IAC} =45^\circ$ (5)
cminh tương tự có $\widehat{IEF} =45^\circ$ (6)
từ (5, 6) =>IEF vuông cân tại I =>IE =IF(đpcm)
b)
IACF nội tiếp =>$\widehat{FIC} =\widehat{FAC} =45^\circ =\widehat{IEF}$
=>$II_2FE$ nội tiếp
cminh tương tự $II_1EF$ nội tiếp
=>đ tròn ngoại tiếp $II_1I_2$ đi qua E, F
mà $\widehat{EIF} =90^\circ$
=>EF là đường kính của ($II_1I_2$) (7)
ta có BF =BA, $\widehat{MBF} =\widehat{MBA}$, MB chung
=>$\triangle MBF =\triangle MBA$
=>$\widehat{MFB} =\widehat{MAB} =90^\circ$ (8)
từ (7, 8) =>MF là tiếp tuyến của ($II_1I_2$) (đpcm)

 

Bạn ngộ nhận rằng FIC=FAC=45 rồi