Mr handsome ugly

Cho $n$ là một số nguyên dương và phân tích thừa số nguyên tố của $n$ là $n=\prod_{i=1}^{f}p_{i}^{k_{i}}$ biết $k_{i}$ là nguyên dương với mọi i nguyên dương thoả $f\geq i\geq 1$ và f cũng nguyên dương. Đặt $d=[\varphi (p_{1}^{k_{1}}),\varphi (p_{2}^{k_{2}}),...,\varphi (p_{f}^{k_{f}})]$ và phân tích thừa số nguyên tố của $d$ là $\prod_{t=1}^{H}q_{t}^{m_{t}}$ biết $m_{t}$ là nguyên dương với mọi t nguyên dương thoả $H\geq t\geq 1$ và f cũng nguyên dương. Cho $a$ là một số nguyên dương thoả $a$ nguyên tố cùng nhau với $n$. Chứng minh rằng luôn tồn tại và duy nhất hai bộ số nguyên dương $(u_{1},..,u_{H})$ và $(L_{1},..,L_{H})$ sao cho $a\equiv \prod_{t=1}^{H}u_{t}^{L_{t}}$ trong đó $ord_{n}(u_{t})=q_{t}^{m_{t}}$ và $L_{t}\mid q_{t}^{m_{t}}$ với mọi t thoả $H\geq t\geq 1$ .

*Câu hỏi ngoài lề: Mọi người cho em hỏi theo như bài toán trên thì tập tất cả các phần tử u thoả $ord_{n}(a)=q_{t}^{m_{t}}$ với mọi t thoả t $H\geq t\geq 1$ có phải tập sinh của nhóm nhân các phần tử thuộc $\mathbb{Z}_{n}$ nguyên tố cùng nhau với n không ạ ?

Cho một đa thức $P(x)\in \mathbb{Z}[x]$ và q là một số nguyên tố; ta kí hiệu $\overline{P(x)}_{q}$là đa thức $P(x)$ sau khi rút gọn các hệ số theo modulo q. Liệu có tồn tại 2 đa thức $G(x)$ và $Q(x)$ thuộc $\mathbb{Z}[x]$ thỏa $G(x)+Q(x)=\overline{P(x)}_{q}$ sao cho không tồn tại hai đa thức $T(x)$ và $L(x)$ thuộc $\mathbb{Z}[x]$ thỏa $L(x)+T(x)=P(x)$ và $G(x)\neq \overline{L(x)}_{q}$ và $Q(x)\neq \overline{T(x)}_{q}$ với mỗi đa thức $P(x)$ và số nguyên tố $q$ cho trước

Hãy tính $S=\sum_{i=1}^{\infty }\frac{1}{p_{i}}$ với $p_{i}$ là số nguyên tố thứ $i$

Chứng minh rằng mọi đa thức với hệ số thực và có bậc lớn hơn 2 đều khả quy trên $\mathbb{R}[x]$.

1) Tìm tất cả các số $n$ nguyên dương sao cho $[\sqrt{n}]=[\sqrt{n+1}]$ biết rằng $[x]$  là kí hiệu của phần nguyên của số thực $x$ 

2) Cho $d$ là một số nguyên dương lớn hơn 1. Hỏi $d$ phải có tính chất gì để tồn tại số nguyên dương $n$ thỏa $[\sqrt{n}]=[\sqrt{n+d}]$.