pcoVietnam02

- $(a_n)$ là dãy dương (1): Dễ dàng quy nạp được từ công thức truy hồi

- $(a_n)$ bị chặn trong khoảng $[1;2]$ (2): Cũng đơn giản từ quy nạp ráp vào

- $(a_n)$ là dãy tăng (3): Tiếp tục quy nạp thêm lần nữa cần chứng minh $a_{n+1}^2>a_n^2$ để xài (1) ta có $a_n^2-3a_n+2\leq 0$ luôn đúng theo (2)

Từ (2), (3) có được $(a_n)$ là dãy hội tụ, quy về bài toán tìm lim ta được $L=2$

Câu b, có thể tổng quát thành bài toán này: "Tam giác $ABC, D \in BC, E$ bất kỳ. $DM, DN$ song song với $AC, AB$ ($M, N$ thuộc $EB, EC$). Chứng minh trung điểm $MN$ thuộc đường cố định khi $D$ di chuyển."Việc chứng minh y chang bài của Hoang72 ở đây.

 

Câu a chịu lun

Câu b bạn đưa về bài toán tổng quát nó rơi vào trường hợp đặc biệt mấy r, nhưng mà có lẽ vẫn dùng ERIQ được.

1. Việc bạn coi topic này là công cụ giải trí trong khi lại đi lấy hình học phẳng để nói là không vui. 

2. Toán học cơ bản không hề dùng hình học phẳng phức tạp, và thêm điều nữa là cũng chả ai bắt bạn đi thi Olympic nếu bạn không thích nó đâu. Đâu phải lúc nào người ta đi rèn hình học phẳng chỉ sau này làm nghề ứng dụng toán học mà theo bạn nói là không áp dụng mấy cái 'mạng nhện' như của Olympic đâu. Người ta có thể đi nghiên cứu toán học, có thể tìm ra định lý nếu họ đủ giỏi, việc mà mình nghĩ sau này bạn sẽ không bao giờ làm được nếu đi nghiên cứu mà vẫn tư tưởng đấy. 

3. Bộ giáo dục không hề ép chúng ta học, mà là chúng ta tự học vì lợi ích bản thân. Chả ai nói bạn học vì gia đình trường lớp cả, (xét về mặt đam mê), còn nếu bạn vẫn muốn cãi là trường khi dạy đội tuyển cứ suốt ngày dạy mấy cái đó thì mình nghĩ bạn không nên đi thi, thế cho $\square$ 

Đặt $\lim_{n \to +\infty} x_n=L$ ($L> 0$)

Ta có : $\sqrt{3}+\frac{L}{\sqrt{L^2-1}}=L\Rightarrow L=\frac{\sqrt3+\sqrt{15}}{2}$.
 

Nhưng mà phải chứng minh dãy hội tụ đã rồi quy về phương trình giới hạn 

Cho $x=y=0$ suy ra $f(0)=0$. Cho $y=0$ thì có được: $f(x^2)=f^2(x)$. Cho $x=1$ thì ta có được $f(1)=1$ hoặc $f(1)=0$. 

TH1: $f(1)=0$ thì cho $x=1$ có: $f(1)=f^2(1-y)-f(y^2)$ hay là $f^2(1-y)=f(y^2)=f^2(y)$ giải tiếp thấy vô lí.

TH2: $f(1)=1$ thì dễ rồi giải như bạn đó có được: $f(x)=x$.

Ở trường hợp $f(0)=0$ hình như có thể ép được thêm 1 nghiệm $f(x)=0$ nữa, từ việc $f(x)=\pm f(x+kt)$ rồi thế như nào đó (theo dạng $A+B=0, A,B \geq 0$, có lẽ vậy)

Còn trường hợp $f(0)=2$ thì còn 1 nghiệm hằng nữa. Mình thay $y=0$ thì được $f(x^2)+2=f(x)^2$, rồi sau đó thay $x=0$; $y$ bởi $-x$ để được $f(4x)+f(x^2)=f(x)^2$. Kết hợp lại được $f(4x)=2$ hay $f(x)=2$ thỏa mãn. 

$100$%? @@

Thấy bài 4 quen quen, thì ra là đề PMO 2021 mình mới lấy đề này ra cho bọn nhỏ :'). 

Xem ở đây

Bạn hãy cố gắng khi làm những bài mà nó có trường hợp tổng quát $n$ thì bạn hãy cố gắng chia trường hợp nhỏ cho nó, khả năng cao sẽ lụm được chút điểm ấy.

Gợi ý: Đặt $f(x)=e^{g(\text{ln }x)}$ thì sẽ dễ dàng có được $g$ là hàm Cauchy. Mà $f$ liên tục nên $g$ liên tục. Do đó $g(x)=cx$, $c$ là hằng số bất kì. Và sau đó ra được hàm như bạn đề cập. 

Cho hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(xy+x+y)=f(xy)+f(x)+f(y)\forall x,y\in \mathbb{R}$ (1)

Chứng minh rằng f là hàm cộng tính.

Mình nghĩ nếu bạn cần chứng minh tuyến tính thì cần thêm điều kiện $f$ liên tục (nếu tuyến tính thì ra hàm thỏa luôn đi chứ còn bảo chứng minh làm gì ), còn không thì chỉ được cộng tính như em Hoàng nói. 

Thực ra theo hướng của em Hoàng thì việc chứng minh cái bài toán phụ như anh Perfectstrong có thể sẽ khó khăn nên mình đề xuất cách 2 dễ tiếp cần hơn (với việc bài toán phụ sẽ dễ hơn).

Tự suy ra được $f(0)=0$ và $f$ là hàm lẻ. 

Thay $x$ bởi $-x$ và $y$ bởi $-y$ và dùng hàm lẻ ta được $f(xy-x-y)=f(xy)-f(x)-f(y)$ (2)

Lấy (1)+(2), vế theo vế được $f(xy+x+y)=f(x+y-xy)+2f(xy)$.

Từ đây sẽ rất dễ dàng chứng minh được với mọi $a,b$ thì hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x+y=a\\ xy=b \end{array} \right.$ luôn có nghiệm. (Dễ dàng chứng minh bằng việc xét khoảng của $b$)

Do đó mình viết lại là $f(a+b)=f(a-b)+2f(b)$

Tới đây có thể đưa về hàm Jensen rồi biện luận ra hàm Cauchy như em Hoàng, hoặc bạn có thể thay $a$ bởi $a+b$ được $f(a+2b)=f(a)+2f(b)$, cho $a=0$ để có $f(2b)=2f(b)$, thay lại vào được $f(a+2b)=f(a)+f(2b)$ hay $f(a+b)=f(a)+f(b)$ làm hàm cộng tính.

P/s: Bài này là IMO Shortlist 1979, một bài rất điển hình trong chuyên đề phương trình hàm Cauchy mà mình khuyên bạn nên quan tâm nó nhiều hơn :Đ

 

Đề thi chọn đội tuyển Thanh Hóa 2021-2022

Bài 1. (5đ) Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} a_1=4\\3a_{n+1}=(a_n+1)^3-5 \end{matrix} \right. ,\forall n \in \mathbb{N}^*$.

1. Chứng minh $a_n$ nguyên dương $\forall n \in \mathbb{N}^*$
2. Đặt $u_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{a_k-1}{a_k^2+a_k+1}$. Tính giới hạn dãy $(u_n)$ khi n dần tới dương vô cực

Bài 2. (5đ) Cho tam giác $ABC$ nhọn có các đường cao là $AD, BE, CF (D \in BC, E \in CA, F \in AD)$. Gọi $\omega_B, \omega_C$ lần lượt là các đường tròn nội tiếp các tam giác $BDF$ và $CDE$; gọi $M$ là tiếp điểm của $\omega_B$ với $DF$ và $N$ là tiếp điểm của $\omega_C$ với $DE$. Đường thẳng $MN$ cắt lại $\omega_B, \omega_C$ lần lượt tại $P$ khác $M$ và $Q$ khác $N$. Chứng minh $MP=NQ$.

 

Bài 3. (5đ) Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}^+$ thỏa mãn 

$$f(x+f(xy))+y=f(x)f(y)+1, \forall x \in \mathbb{R} ^+, \forall y \in \mathbb{R} ^+.$$

 

Bài 4. (5đ)

1. Cho $m, n$ là các số tự nhiên thòa $n \le m-1$. Tìm tất cả các cặp $(x,y)$ nguyên dương thỏa $x^2-(m-2)xy+y^2+n=0$
2. Chứng minh $a^2+\frac{4a^2+b-1}{b}$ không thể là SCP với mọi bộ số nguyên dương $(a,b)$

 

Hơi bị căng khi đề Thanh Hóa lại ra bài phương trình hàm nằm trong đề IMO Shortlist :') . Thôi thì đây là một hướng giải để mọi người có thể đi theo. Mình không gửi lời giải vì nguồn đã có các bạn có thể tìm: 

• $f$ đơn ánh
• $f$ là hàm tăng
• $f$ là hàm tuyến tính
• $f(x)=x+1,\forall x\in\mathbb R^+$

Bạn để ý nếu coi $D,E,F$ là 3 trung điểm của $BC,CA,AB$ ; gọi $N$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $DEF$ (do đó $N$ là tâm đường tròn Euler), gọi $G$ là trực tâm

Dùng phép vị tự tâm G, tỉ số $\frac 12$ biến tam giác $ABC$ thành tam giác $DEF$, biến $OG$ thành $NG$. Do đó $NG=\frac{1}{2}OG$ và $N,G,O$ thẳng hàng

Tới đây lại có $HG=2OG$ thì dễ dàng suy ra được tính chất là trung điểm $OH$ là tâm đường tròn Euler.

Đặt $f(x)=e^{g(x)}$. Suy ra $e^{g(x+y)}=e^{g(x)}.e^{g(y)}\Rightarrow g(x+y)=g(x)+g(y)$

Mà $f$ liên tục nên $g$ liên tục. Do đó $g(x)$ là hàm Cauchy tuyến tính. Suy ra $g(x)=cx, \forall x\in\mathbb R$, $c$ là hằng số bất kì. 

Vậy $f(x)=e^{cx}, \forall x\in\mathbb R$, $c$ là hằng số bất kì. 

6. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sao cho $f(f(y)(x + 1)) = y(f(x) + 1) \quad \forall x,y \in \mathbb{R}$. (1)

Tìm số n tự nhiên để: $2^{3n + 4}+ 3^{2n + 1} ⋮ 19$

Cho em hỏi là n = 0 hay n = 18k mới đúng ạ? Tại vì hai thầy em dạy hai cách khác nhau luôn ấy ạ.

Để dễ hiểu, mình đưa về bài tìm tất cả số tự nhiên $n$ để $2^{3n+4}+3^{2n+1} \vdots 19$

Ta có $16. 8^n+ 3. 9^n \vdots 19 \Rightarrow -3. 8^n +3.9^n \vdots 19 \Rightarrow 3 (9^n-8^n) \vdots 19$

Do đó $9^n-8^n \vdots 19$

Suy ra $9^n \equiv 8^n \text{ (mod 19)} \Rightarrow \frac{9^n}{8^n} \equiv 1 \text{ (mod 19)} $  

Mà để ý $8^n \equiv \frac{1}{12^n} \text{ (mod 19)}$ (vì $96^n \equiv 1 \text{ (mod 19)} $) nên $\frac{9^n}{8^n}\equiv (9.12)^n \equiv 108^n \equiv 13^n \text{ (mod 19)} $  

Do đó $13^n \equiv 1 \text{ (mod 19)}$ để điều này thỏa mãn thì $n\vdots 18$ (thỏa mãn định lý Fermat nhỏ). 

Vậy $n=18k$.