alexander123

$P(x)=x-2$ nữa

$P(x)=\frac{x^n}{2^{2n-1}-1}$ với mọi số nguyên $n>1$ vẫn đúng

Rõ đi bạn

Giả sử $\text{deg P }=n\geq 2$ và đặt $$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$$ trong đó $a_i \in \mathbb{R}, \forall i = \overline{0,n},a_n\neq 0$

Trước hết so sánh hệ số của $x^{2n}$, ta được $(a_n.2^n)^2=2a_n^2+2a_n\Rightarrow a_n=\frac{1}{2^{2n-1}-1}$

Ta sẽ chứng minh $a_{n-i}=0,\forall i=\overline{1,n}$ bằng quy nạp

Thật vậy với $i=1$ thì ta so sánh hệ số của $x^{2n-1}$ thì thu được $$2a_na_{n-1}=2a_na_{n-1}.2^n.2^{n-1}\Rightarrow a_{n-1}=0$$

Giả sử khẳng định đúng với mọi $1\leq i\leq k$, ta sẽ chỉ ra $a_{n-k-1}=0$

Trường hợp $1$: $k$ chẵn khi đó ta sẽ so sánh hệ số của $x^{2n-k-1}$ trong hai vế, dễ thấy $2P(x^2)$ chỉ chứa toàn đơn thức mũ chẵn mà $2n-k-1$ lẻ nên ta chỉ quan tâm đến hệ số trong hai đa thức $2P(x)^2$ và $P(2x)^2$

Rõ ràng trong khai triển của $2P(x)^2$ và $P(2x)^2$ thì số mũ của hạng tử $x^{2n-k-1}$ sẽ được xác định bởi $0\leq p,q\leq n$ thỏa mãn $p+q=2n-k-1$

Nếu có ít nhất một trong hai số $p,q\geq n-k$ thì một trong hai hệ số $a_p,a_q$ tương ứng sẽ bằng $0$ theo giả thiết quy nạp, do đó hệ số $a_pa_q$ của $x^{p+q}$ sẽ bằng $0$, do vậy ta có ngay điều phải chứng minh

Như vậy ta chỉ cần xét trường hợp có một số bằng $n$ và số còn lại bằng $n-k-1$ (bởi vì nếu cả hai số đều không vượt quá $n-k-1$ thì vô lí)

Do đó ta xác định được hệ số của $x^{2n-k-1}$ trong $2P(x)^2$ là $4a_na_{n-k-1}$. Tương tự thì hệ số của $x^{2n-k-1}$ trong $P(2x)^2$ là $2.2^{n}.a_n.2^{n-k-1}a_{n-k-1}=2^{2n-k}a_na_{n-k-1}$ nên so sánh hệ số ta được $a_{n-k-1}=0$

Trường hợp $k$ lẻ mình không biết phải làm sao