thuvitoanhoc

Tìm tất cả hàm số: f: R→R  liên tục trên R thỏa mãn: f(x×y) = f(x)×f(y) ∀x,y∈R

Tìm hàm f: R^* -> R thỏa f(x.y) = f(x) +f(y) V x,y C R^*

Giải 

Đặt f(x) = ln|g(x)| Ta có : f(x.y) = ln|g(x.y)| ;  f(x) +f(y) = ln|g(x)| + ln|g(y)| = ln|g(x).g(y)|

f(x.y) = f(x) +f(y)  <=>  ln|g(x.y)| = ln|g(x).g(y)|   <=> g(x.y) = g(x).g(y) -> g(x) = |x|^c (c là hằng)

Từ đó: f(x) = ln|x|^c = c.ln|x| = log_a|x| với a = e^(1/c)  (a là hằng số)

Vậy hàm số thõa mãn f(x.y) = f(x) +f(y) V x,y C R^* là f(x) = log_a|x| (với a là hằng số bât kì  và 0 < a   /  1) 

Các bạn xem thêm g(x.y) = g(x).g(y) tại đây

Mình biết một hàm số thõa yêu cầu của đề bài là f(x) = $\mid x\mid ^{\alpha }$ với $(\alpha > 0)$. Khi đó ta có:

f(x.y) = $\mid x.y\mid ^{\alpha }=\mid x\mid ^{\alpha }.\mid y\mid ^{\alpha }$ =f(x).f(y) . Không biết có bạn nào đưa ra được lời giải cho bài toán này không ?

mình không biết giải nhưng mình biết một hàm số thõa mãn đề bài của bạn là f(x) = $a^{x}$. (0 <a ) Khi đó

$f(x+y)=a^{x+y}=a^{x}a^{y}=f(x)\times f(y)$

Hy vong bạn nào đó đưa ra được lời giải.

Lâu rồi mình đăng lên chưa ai giải, bây giừo hết hạn cấm post mình mới vô được mình xin giải bài này nhé:

4x -10y = 15xy -3   <=>  3(4x - 10y) = 3(15xy - 3)   <=>   12x - 30y = 45xy - 9  <=>  45xy - 9 - 12x + 30y = 0

<=>  45xy + 30y - 12x - 8 - 1 = 0   <=>   45xy + 30y - 12x - 8 = 1  <=>   (3x+2)15y-(3x+2)4 = 1

<=>   (3x + 2)(15y - 4) = 1   ->   15y - 4 C Ư(1)    ->   15y - 4 = + 1  <=>  y = 1/3 hoặc  y = 1/5 

với nghiệm y = 1/3 ta loại do y C Z , tương tự y = 1/5 ta cũng loại vì y  C Z. 

Vậy phuong trình Đi-ô-phăng 4x -10y = 15xy -3 không thể có nghiệm nguyên.