poset

Giả sử tồn tại số hai số nguyên dương $N$ và $k$ thỏa mãn $\lfloor x_{n+k}\rfloor=\lfloor x_n\rfloor$ với mọi số nguyên $n\ge N_1=N+1$. Vì $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{q^n}=0$ nên tồn tại số nguyên dương $\alpha$ sao cho

\[|x_{N_1+k}-x_{N_1}|>\frac{1}{q^\alpha}.\tag{$\ast$}\]

Tiếp theo ta sẽ chỉ ra mâu thuẫn, bắt đầu với $\lfloor x_{N_1+\alpha+k}\rfloor=\lfloor x_{N_1+\alpha}\rfloor$ ta có

\[|x_{N_1+\alpha+k}-x_{N_1+\alpha}|<1\implies \Big|q\{x_{N_1+\alpha-1+k}\}-q\{x_{N_1+\alpha-1}\}\Big|<1.\]

Mặt khác $\lfloor x_{N_1+\alpha-1+k}\rfloor=\lfloor x_{N_1+\alpha-1}\rfloor$ dẫn đến

\[|x_{N_1+\alpha-1+k}-x_{N_1+\alpha-1}|=\Big|\{x_{N_1+\alpha-1+k}\}-\{x_{N_1+\alpha-1}\}\Big|<\frac{1}{q}.\]

Tiếp tục như thế ta có $|x_{N_1+k}-x_{N_1}|<\frac{1}{q^\alpha}$, mâu thuẫn với $(\ast)$.

 

P.s. Đọc lại thì thấy xét thiếu trường hợp 

Nếu $x_{N_1}=x_{N_1+k}$ thì sao? Khi đó sẽ không tìm được $\alpha$.
Dữ kiện $x_1=q$ hay $q$ hữu tỉ không nguyên chưa được dùng, mặc dù nó không thừa. Ví dụ lấy $q=\frac{5}{2},x_1=\frac{5}{3}$ thì $x_n$ luôn bằng $\frac{5}{3}$, hay lấy $q$ là nghiệm lớn hơn $1$ của phương trình $x^3-x^2-2x+1=0$ thì dãy sẽ tuần hoàn với chu kì $2$.

Có tồn tại không một hàm số khả vi cấp 1 tại mọi điểm thuộc khoảng (a,b) nhưng đạo hàm của nó không liên tục tại một điểm nào đó thuộc khoảng (a,b) ?  Nếu không hãy chứng minh rằng không tồn tại còn nếu có hãy cho ví dụ.

https://en.wikipedia...tiable_(not_C1)

Cho dãy $(u_n)$ thỏa $lim$$u_n=0$. Chứng minh rằng: $S_n=\sum_{i=1}^{n}\left | 1-\frac{u_{i+1}}{u_i} \right |$ phân kì.

Thêm điều kiện $u_n\neq 0,\forall n\in\mathbb{N}$ nữa. Đặt $c=1-\frac{1}{e}$, ta có $0<c<1$.

$x\geq -c.ln(1-x),\forall x\in[0,c]$.

Xét hàm $f(x)=x+c.ln(1-x)$ trên $[0,c]$. Ta có $f''(x)=\frac{c}{(1-x)^2}>0,\forall x\in[0,c]$, vậy $f$ là hàm lồi trên $[0,c]$ nên nhận giá trị nhỏ nhất tại biên, tại $x=0,x=c$ ta có $f=0$ nên $f(x)\geq 0\Rightarrow x\geq -c.ln(1-x),\forall x\in[0,c]$.

Đặt $v_n=1-\frac{u_{n+1}}{u_n}$ thì $u_{n+1}=u_m\prod_{i=m}^n(1-v_i)$ và $S_n=\sum_{i=1}^n|v_n|$. Giả sử $S_n$ hội tụ thì $\lim|v_n|=0$, từ đó chọn được $N$ sao cho $\forall n\geq N, |v_n|\leq c<1$, khi đó $1-v_n>0,\forall n\geq N$, từ đó bằng quy nạp ta dễ thấy $u_n$ cùng dấu với $u_N$ với mọi $n\geq N$. Theo Theorem ta có:
$S_n=\sum_{i=1}^n|v_n|=S_{N-1}+\sum_{i=N}^n|v_n|\geq S_{N-1}-c\sum_{i=N}^{n}ln(1-|v_n|)\geq S_{N-1}-c\sum_{i=N}^{n}ln(1-v_n)=S_{N-1}-c.ln\prod_{i=N}^{n}(1-v_n)=S_{N-1}-c.ln\frac{u_{n+1}}{u_N},\forall n\geq N$
Vì $u_n$ cùng dấu với $u_N$, $\lim u_n=0$ và $u_n\neq 0$ với $n\geq N$ nên:
$\frac{u_n}{u_N}>0,\lim\frac{u_n}{u_N}=0\Rightarrow \lim ln\frac{u_{n+1}}{u_N}=-\infty\Rightarrow\lim S_n\geq\lim\left ( S_{N-1}-c.ln\frac{u_{n+1}}{u_N}\right )=+\infty$ hay $S_n$ phân kỳ, mâu thuẫn với giả sử. Vậy $S_n$ phân kỳ.
 

Lấy điểm $A$ bất kì trên đường tròn. Kẻ tiếp tuyến $AB,AC$ của $F$ và tiếp tuyến $BD,CE$ của $F$ ($B,C,D,E$ thuộc đường tròn). Giả sử $ABC$ không phải tam giác đều thì ta có $BD//CE,BD\not\equiv CE$, do đó hình $F$ nằm giữa phần tạo bởi dây cung $BD,CE$ và đường tròn (vì $F$ lồi). Tuy nhiên khi đó $AB,AC$ không thể là tiếp tuyến của $F$ (vì $AB,AC$ nằm ngoài phần trên), vô lý.
Vậy $F$ nhận tất cả các cạnh của tất cả các tam giác đều nội tiếp $(O)$ làm tiếp tuyến, hay cụ thể là tất cả các dây cung có khoảng cách tới $O$ là $\frac{1}{2}$. 
Giả sử tồn tại $X$ trên biên của $F$ sao cho $OX\neq \frac{1}{2}$.
Nếu $OX>\frac{1}{2}$, lấy $X'$ trên đoạn $OX$ sao cho $OX'=\frac{1}{2}$, kẻ dây cung $AB$ qua $X'$ vuông góc với $OX'$. Vì $AB$ là tiếp tuyến của $F$ nên $F$ nằm phần của đường tròn chia bời $AB$ chứa $X'$, nhưng khi đó chọn $C$ trên $(O)$ sao cho $ABC$ là tam giác đều thì $CA,CB$ không thể làm tiếp tuyến của $F$, vô lý. Do vậy với mọi $X$ trên biên của $F$ ta có $OX\leq \frac{1}{2}$.
Nếu $OX<\frac{1}{2}$, lấy $X'$ trên tia $OX$ sao cho $OX'=\frac{1}{2}$, kẻ dây cung $AB$ qua $X'$ vuông với $OX'$. Ta có với mọi $Y$ thuộc $AB$, $OY>\frac{1}{2}$ trừ khi $Y\equiv X'$, từ đó ta có $AB$ không cắt $F$, vô lý.
Vậy với mọi điểm $X$ trên biên của $F$, $OX=\frac{1}{2}$, do đó $F$ là đường tròn tâm $O$ bán kính $\frac{1}{2}$ (đpcm)
Có thể thay góc $60^{\circ}$ bằng góc $\alpha \pi ,\alpha \in (0,1)$ với $\alpha$ vô tỉ hoặc có dạng $\frac{m}{n}$ với $m,n$ nguyên dương, $n$ lẻ. Khi đó ta xét các dây cung $A_0A_1,A_1A_2,...,A_{n-1}A_n$ là tiếp tuyến của $F$ (chọn $n$ lẻ sao cho $A_0A_1,A_{n-1}A_n$ không cắt nhau) và làm như trên ta có $F$ là đường tròn tâm $O$ bán kính $cos\frac{\alpha \pi }{2}$.
Với $\alpha$ không có dạng trên, bài toán sẽ phức tạp hơn nhiều và có thể tồn tại $F$ không phải hình tròn thỏa mãn.

https://projecteucli...-01723-6.short 
Với $\alpha$ không có dạng trên thì tồn tại $F$ không phải hình tròn thỏa mãn đề bài. Trường hợp $\alpha=\frac{\pi}{2}$: https://en.wikipedia...Director_circle

Phân hoạch tập hợp $X$ thành các tập con $X_{2i-1}$ như sau

$$X_{2i-1}=\Big\{2^j(2i-1)\mid j\in\mathbb{N},\ 2^j(2i-1)\le 3000\Big\},\quad i\in\{1,2,\dots,1500\}.$$

Từ đây ta thấy rằng để tập $A$ thỏa đề có số phần tử lớn nhất thì ở mỗi tập hợp $X_{2i-1}$ ta chọn $\left \lfloor \frac{|X_{2i-1}|+1}{2} \right \rfloor$ phần tử (không đồng thời chọn cả $x$ lẫn $2x$). Như vậy số phần tử lớn nhất của $A$ là

$$\sum_{i=1}^{1500}\left \lfloor \frac{|X_{2i-1}|+1}{2} \right \rfloor=\sum_{i=1}^{1500}\left \lfloor \frac{1}{2}\left \lfloor \log_2\left ( \frac{3000}{2i-1} \right )+1 \right \rfloor+\frac{1}{2} \right \rfloor.$$

Một cách để chọn tập $A$ như vậy là lấy tất cả các phần tử có dạng $(2i-1)4^k$. Có thể kiểm tra được rằng tập $A$ thỏa mãn $x\in A\Rightarrow 2x\notin A$ và với cách chọn như vậy số phần tử của $A$ trong mỗi tập hợp $X_{2i-1}$ là lớn nhất ($\left\lfloor\frac{|X_{2i-1}|+1}{2}\right\rfloor$ phần tử) nên $|A|$ cũng lớn nhất. 
Với $k=0$ thì $2i-1\leq 3000\Rightarrow i\leq 1500$ nên có $1500$ cách chọn $i$.
Với $k=1$ thì $4(2i-1)\leq 3000\Rightarrow 2i-1\leq 750\Rightarrow i\leq 375$ nên có $375$ cách chọn $i$.
Với $k=2$ thì $16(2i-1)\leq 3000\Rightarrow 2i-1\leq 187\Rightarrow i\leq 94$ nên có $94$ cách chọn $i$.
...
Cứ như vậy tính được $|A|=1500+375+94+23+6+1=1999<2000$ (gần được), mà ta đã chọn $A$ sao cho $|A|$ lớn nhất nên không tồn tại tập $A$ với $|A|=2000$ như đề bài.
Câu hỏi nhỏ là với $n$ nào thì với tập $X=\{1,2,...,3n\}$ có chứa tập $|A|=2n$ sao cho $x\in A\Rightarrow 2x\notin A$?