$\boxed{\textrm{Bài 146}}$ Chứng minh rằng với $\forall p$ là số nguyên tố thì không tồn tại $x,y \in \mathbb{Z^{+}}$ thoả mãn:
$$ 2^p +3^p = x^{y+1} $$
Với p=2 thì $VT=13$ nên không thể tồn tại $x,y$ thỏa mãn.
Với p=3 thì $VT=35$ nên không thể tồn tại $x,y$ thỏa mãn.
Với p=5 thì $VT=32+243=275$ không thể tồn tại $x,y$ thỏa mãn.
Xét p>5 thì:
Ta sẽ chứng minh:
$2^p+3^p$ chia hết cho $5$ nhưng không chia hết cho $25$ thật vậy:
$2^p+3^p=(2+3)(2^{p-1}+2^{p-2}.3+...+3^{p-1})=5(2^{p-1}+2^{p-2}.3+...+3^{p-1})$.
$2^{p-1}+2^{p-2}.3+..+3^{p-1}\equiv 2^{p-1}+(-2).2^{p-2}+...+(-2)^k.2^{p-1-k}+...+(-2)^{p-1}(mod 5)\equiv 2^{p-1}-2^{p-1}+2^{p-1}+...+2^{p-1}(mod 5)\equiv 2^p(mod 5)$ nên $2^{p}+3^{p}$ không chia hết cho 25.
Do đó: Giả sử tồn tại p thỏa mãn thì: $VP$ sẽ chia hết cho 5 nên $x$ sẽ chia hết cho $5$ mà $y+1>1$ nên VP sẽ chia hết cho $5^{2}$ mà VT không nên vô lí.
Vậy ta có điều phải chứng minh.