spirit1234

Anh ơi đó là cách cấp 3 ạ. Em đang tìm một cách chứng minh cấp 2 để giải một số bài toán

srry em; dạo này anh dùng nhiều mấy cái này quá lên hơi lag; em xem thử cách này xem sao nhé:

Gọi bán kính $(O)$ là $R$; $(O')$ là $R'$; $I$ là trung điểm $OO'$.

$WLOG$; giả sử: $R>R'$

Ta có: $MD=ME\Rightarrow MO^2-MO'^2=R^2-R'^2$

Ta chứng minh được trên đoạn thẳng $OO'$ có duy nhất 1 điểm $H$ sao cho: $HO^2-HO'^2=R^2-R'^2$.

Áp dụng định lí Pytago ta suy ra $MH\bot OO'$

Ta có: $(HO-HO')(HO+HO')=R^2-R'^2$

$\Rightarrow IH=\frac{R^2-R'^2}{2OO'}\Rightarrow H$ cố định.

$\Rightarrow dpcm.$

Kẻ $AH \bot BC ( H \in BC)$.

Ta có: $\frac{AN}{NB}.\frac{CM}{MA}.\frac{BH}{HC}=\frac{CM.BH}{BN.HC}=\frac{ND}{NB}.\frac{CM}{MD}.\frac{BH}{AH}.\frac{AH}{HC}=\tan B.\tan C.\cot B.\cot C=1$

Theo định lí Ce-va đảo; ta có: $BM;CN;AH$ đồng quy.

$\Rightarrow đpcm.$

 

Em xin góp một bài:

77 (Định lý Brianchon): Cho lục giác ABCDEF ngoại tiếp (O). Chứng minh rằng AD, BE, CF đồng quy. 

Lâu lắm mới lên giải bài; đốp chát vài bài thái nhỉ. 

$\boxed{7}$: Gọi $G,H,I,J,K,L$ là tiếp điểm của $(O)$ với $AB,BC,CD,DE,EF$.

 Kẻ $GJ\cap LI=M; GJ\cap HK=N; LI\cap HK=P$.

 Áp dụng định lý Pascal cho lục giác nội tiếp GGILLH và GIILJJ ta có được: $\overline{D,A,M}$.

$\Rightarrow GJ;LI; AD$ đồng quy tại $M$.

Tương tự ta có: $GJ,HK,BE$ đồng quy tại $N$; $LI,HK,CF$ đồng quy tại $P$.

Áp dụng định lý Desargues; ta có : $AD, BE, CF$ đồng quy. (đpcm)

*P/s: Bài này dùng trục đẳng phương cũng rất hay.

Hoàn toàn đồng ý với bạn nguyennamquan.

 Bài này áp dụng Brocard là ra:

Áp dụng định lý Brocard cho tứ giác nội tiếp $ABCD$ ta có:

   $H$ là trực tâm $\Delta EFK$ ($H$ là trung điểm $BD$; $AC\cap BD=K$)

$\Rightarrow HK\bot EF\Rightarrow GI//BD$.

 Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$. $d$ là 1 đường thẳng bất kì; $d \cap AC,AB = E,F$. Gọi $M,N,P$ là trung điểm của $BE,CF,EF$. Kẻ $OK\bot EF; K\in EF$. Cmr: $M,N,P,K$ đồng viên.

  *P/s: đây là 1 bài toán không quá khó nhưng mình thấy khá hay và nhiều cách giải cũng như cách áp dụng nên đưa lên đây cho mọi người cùng xem  .

Dạng mở rộng của bài toán

 Cho tam giác ABC, phân giác AD, BE, CF đồng quy tại I. X,Y, Z là trung điểm của EF, DF, DE. Với $BC=a ,AB=c ,AC=b$

Chứng minh: 

$a.\vec{IX}+b.\vec{IY}+z.\vec{IZ}=\vec{0}$

Ukm; hi vọng các bạn có thể kiểm tra hộ mình xem bài của mình sai đâu được không?     

Ta có: $a\vec{IX}+b\vec{IY}+c\vec{IZ}=\vec{0}\Rightarrow \frac{a}{2}(\vec{IE}+\vec{IF})+\frac{b}{2}(\vec{ID}+\vec{IF})+\frac{c}{2}(\vec{IE}+\vec{ID})=\vec{0}\Rightarrow (a+c)\vec{IE}+(b+c)\vec{ID}+(a+b)\vec{IF}=\vec{0}$.

Ta có tính chất quen thuộc sau: $a\vec{ID}+b\vec{IE}+c\vec{IF}=\vec{0}$.

$\Rightarrow (a+b+c)\vec{IE}+(a+b+c)\vec{IF}+(a+b+c)\vec{ID}=\vec{0}\Rightarrow \vec{ID}+\vec{IE}+\vec{IF}=\vec{0}$ Ukm ???      

 

Các bạn trong đội tuyển có nick trên VMF không nhỉ?

 

 Anh Trần Nhật Minh hình như là anh Minhnksc trước đây làm ĐHV Olympic thì phải thầy ạ

Bạn có thể giúp mình bài này được không, mình cx mới học vecto mà thấy bài này mn toàn giải theo cách CM ngược .-.
Cho $\Delta ABC$ có I là tâm đường tròn nội tiếp. CMR: $a\vec{IA} + b\vec{IB} + c\vec{IC} = \vec{0}$
Thanks

Mik ko hiểu Cminh xuôi; Cminh ngược là ntn; nhưng bài này tuần trc mik từng làm ở lớp như sau:

Ta có 1 tính chất quen thuộc sau:

 Cho $\Delta ABC; M\in BC \Rightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{MC}{BC}\overrightarrow{AB}+\frac{MB}{BC}\overrightarrow{AC}$.

(Nếu bạn cần mik cx có thể cminh tính chất này)

Tiếp tục với bài toán: 

 Gọi $A'=AI\cap BC$.

 Theo tính chất đường phân giác ta có:

$\frac{A'C}{A'B}=\frac{b}{c}\Rightarrow \frac{A'C}{b}=\frac{A'B}{c}=\frac{a}{b+c}\Rightarrow A'B=\frac{a}{b+c}$.

Ta có: $\frac{A'I}{IA}=\frac{A'B}{AB}=\frac{a}{b+c}\Rightarrow \overrightarrow{IA'}=\frac{-a}{b+c}\overrightarrow{IA}$.

Áp dụng tính chất ta có: $\overrightarrow{IA'}=\frac{A'C}{BC}\overrightarrow{IB}+\frac{A'B}{BC}\overrightarrow{IC}=\frac{b}{b+c}\overrightarrow{IB}+\frac{c}{b+c}\overrightarrow{IC}$.

$\Rightarrow \frac{-a}{b+c}\overrightarrow{IA}=\frac{b}{b+c}\overrightarrow{IB}+\frac{c}{b+c}\overrightarrow{IC}\Rightarrow a\vec{IA}+b\vec{IB}+c\vec{IC}=\vec{0}$. (đpcm)

Cái thời lên VMF để chém gió là chính. Chắc các mem bây giờ không biết, ĐHV Tổng hợp bây giờ gọi là Phó Quản trị.

Như vậy là bây giờ không còn ĐHV tổng hợp nữa mà chỉ có PQT thôi à thầy.

Tiếp: Cho $a,b,c>0; ab+bc+ca\leq 1$. Cmr: $a+b+c+\sqrt{3}\geq 8abc(\sum \frac{1}{a^2+1})$.

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $a+b+c=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$.

 CMR: $2(a+b+c)\geq \sqrt[3]{7a^2b+1}+\sqrt[3]{7b^2c+1}+\sqrt[3]{7c^2a+1}$.

Mới bập bẹ học vecto; làm tạm bài.

Gọi $\overrightarrow{e_1};\overrightarrow{e_2};\overrightarrow{e_3}$ là các vecto đơn vị của $BC,AC,AB$.

Ta có: $\frac{BC}{JM}.\overrightarrow{JM}.\frac{AC}{JN}.\overrightarrow{JN}+\frac{AB}{JP}.\overrightarrow{JP}=BC.\overrightarrow{e_1}+AC.\overrightarrow{e_2}+AB.\overrightarrow{e_3}=\overrightarrow{0}$. (Theo định lý con nhím).

$=> đpcm$.

Nhập đề lưu trữ.

Câu 1:

 Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho parabol $(P): y=x^2$ và đường thẳng $(d): y=2(m+1)x+3$ với $m$ là tham số.

  1) Tìm tọa độ điểm $A$ thuộc parabol $(P)$ sao cho độ dài đoạn thẳng $OA=2\sqrt{3}$.

  2) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt parabol $(P)$ tại 2 điểm phân biệt có hoành độ $x_1;x_2$ thỏa mãn: $x_1^2-2mx_1+2x_2-x_1x_2=2$.

Câu 2:

 1) Giải phương trình: $(x^2+x+4)^2+8x(x^2+4)+23x^2=0$.

 2) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{x+y}+2\sqrt{x-y}=4+\sqrt{x^2-y^2} \\ 2\sqrt{x}+3\sqrt{y}=6 \end{matrix} \right.$

Câu 3:

 1) Cmr: khi lấy 1011 số bất kỳ từ 2020 số nguyên dương đầu tiên, ta luôn tìm được 2 số $x,y (x>y)$ từ 1011 số đó sao cho $x\vdots y$.

 2) Tìm tất cả $x,y\in \mathbb{Z}$ thỏa mãn: $x^3-x^2y-4y^3-y=1$.

Câu 4:

 Cho $a,b,c>0$. Tìm GTNN của: $P=\frac{3(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}+\frac{(a+b+c)^3}{abc}$.

Câu 5:

 Cho $\Delta ABC$ nhọn có $AB<AC$, đường cao $AH$. Gọi $D,E$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $AB,AC$. $DE\cap CB=M$. Đường thẳng $MA$ cắt đường tròn đường kính $AH$ tại $I (I\not= A)$. $BI\cap AC=N$. Cmr:

  a) $ADHE;BCED$ là tứ giác nội tiếp.

  b) $\Delta MBI\sim \Delta MAC; \Delta NAI\sim \Delta NBC$.

  c) $MB.MC+NA.NC=MN^2$.

Nhập đề lưu trữ.

Câu 1:

 Tính: $P=(\sqrt{\frac{2020+x}{2020-x}}+\sqrt{\frac{2020-x}{2020+x}}) : (\sqrt{\frac{2020+x}{2020-x}}-\sqrt{\frac{2020-x}{2020+x}}).$

Câu 2:

 Cho hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2-y=mxy+5 \\ y^2-x=mxy+5 \end{matrix} \right.$ với $m$ là tham số.

  a) Giải hệ phương trình với $m=1$.

  b) Xác định $m$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Câu 3:

 Cho đường tròn $(O;R)$; lấy điểm $A$ nằm ngoài đường tròn sao cho $OA=2R$. Từ $A$ kẻ 2 tiếp tuyến $AM, AN$ và cát tuyến $ABC (AB<AC)$. Gọi $I$ là trung điểm của $BC$; $T=NI\cap (O) (T\not= N)$.

  a) Cmr: $\Delta AMN$ đều.

  b) Cmr: $MT//AC$.

  c) Tiếp tuyến của $(O)$ tại $B, C$ cắt nhau ở $K$. Cmr: $\overline{K,M,N}$.

Câu 4:

 a) Tìm cặp số $(x;y)$ thỏa mãn: $x^2+y^2+8x+y-2xy+3=0$ sao cho $y$ đạt GTLN.

 b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $(x^2-3)(x^2-7)(x^2-15)(x^2-19)=-351$.

Câu 5:

 Cho hình vuông $ABCD$. Gọi $E,F$ là trung điểm của $CD,AD$; $G=AE\cap BF$.

  a) Cmr: $\widehat{FED}=\widehat{FGD}$.

  b) Gọi $H$ là điểm đối xứng của $F$ qua $G$; $I=BD\cap EF$. Đường thẳng qua $D, // BF\cap HI=K$. Cmr: $K$ là trực tâm của $\Delta GDE$.

Câu 6:

 Cho $x,y>0; xy=4$. Tìm GTNN của: $Q=\frac{x^3}{4(y+2)}+\frac{y^3}{4(x+2)}$.