spirit1234

Cách đổi danh hiệu trên diễn đàn là gì vậy mọi người?

I) Lời nói đầu:

   Chào các bạn; hiện nay trên diễn đàn của chúng ta; các topic ôn thi chuyên và hsg hình học đang hoạt động rất sôi nổi; nhưng nó quá sức đối với các bạn học sinh lớp 7;8; còn đâu các topic hình học cho học sinh 7;8 thì đã cũ rồi. Vì vậy; để đảm bảo 1 sân chơi công bằng cho các bạn học sinh lớp 7;8; hôm nay mình xin phép thành lập 1 topic hình học 7;8 mới; mời mọi người cùng tham gia. Hi vọng topic sẽ giúp các bạn lớp 7;8 phát triển hơn trong mảng hình học và cũng dần dần tiến tới các kiến thức mới; phát triển mới.

II) Quy định: Sau đây là 1 số quy định của topic:

  1)Trình bày bằng $\LaTeX$ (nếu các bạn có vấn đề gì về Latex có thể nhắn tin trực tiếp với mình để nhận được sự trợ giúp kịp thời).

  2)Nghiêm cấm hành vi spam; làm loãng topic.

  3)Mọi người đều có quyền đăng bài toán vào trong topic nhưng bài toán đưa vào phải phù hợp với kiến thức lớp 7;8. Và mỗi bài toán đưa ra đều phải đánh số thứ tự.

  4)Khi giải bài thì cần phải trích dẫn đề bài; sau 1 ngày mà chưa có ai giải thì người đề xuất bài toán phải đưa ra lời giải của mình. (kiến thức bài giải phải là kiến thức bậc THCS) (khuyến khích đưa thêm các cách giải khác cho 1 bài toán).

  5)Các anh chị lớp lớn hơn nếu muốn giải bài có thể đăng lời giải của mình sau 2 ngày kể từ khi bài toán được đưa ra. Nếu trong bài giải có kiến thức lớp 9 thì trước bài giải phải có chữ “*Tham khảo”.

  6)Những bài toán đã được giải sẽ được bôi đỏ ở số thứ tự.

  7)Nếu các bạn có ý kiến gì về đề hay lời giải của 1 bạn nào đó có thể gửi tin nhắn trực tiếp cho bạn đó hoặc cho mình để xử lí vấn đề kịp thời.

  8)Nếu như một bài toán nào đó được đề xuất mà đã có lời giải ở trang khác, mình mong mọi người hãy trình bày đầy đủ tại trang này luôn, không dẫn link đến các trang khác.

  9)Những bài toán đã xuất hiện trên topic hay những lời giải trùng với những lời giải khác trên topic đều sẽ bị xóa đi để tránh làm loãng topic.

 Trên đây là 1 số quy định ngặt nghèo của topic; mong các bạn chấp hành đúng nội quy.

 Mình mong sẽ nhận được sự ủng hộ của mọi người để topic ngày càng phát triển   .

Đừng quên ấn theo dõi chủ đề để nhận những thông báo mới nhất từ topic nhé.

Nếu bạn nào thấy mình "văn hay chữ tốt" thì hãy like cho mình nhé   

                                                               Đường tròn Apollonius

  Đường tròn Apollonius là 1 đường tròn có rất nhiều ứng dụng trong hình học; chúng ta có thể áp dụng nó để giải 1 số bài toán từ quỹ tích; tứ giác nội tiếp; bài toán liên quan đến góc; dựng điểm; thậm chí đến cả cực trị hình học. Nếu nhìn sơ qua thì nó có vẻ rất khó để áp dụng nhưng nếu áp dụng được nó; chúng ta sẽ có được những lời giải đẹp đẽ đến lạ kì; đặc biệt là những bài toán tưởng chừng như không có cơ sở để chứng minh. Và sau đây chúng ta sẽ đến với chuyên đề về đường tròn Apollonius do mình (Phạm Vũ Hoàng) biên soạn;(nó được tổng hợp từ 1 số tài liệu và cũng có 1 phần kiến thức của mình); để cùng tìm hiểu về cách áp dụng đường tròn Apollonius vào giải toán như thế nào nhé!

1.Đường tròn Apollonius:  

Trước tiên chúng ta phải chứng minh bài toán chính cái đã    

*Bài toán về đường tròn Apollonius được phát biểu như sau: Cho 2 điểm $A,B$. Tập hợp các điểm $P$ sao cho tỉ số $\frac{PA}{PB}=k$ không đổi $(k>0;k\not=1)$ là 1 đường tròn; được gọi là đường tròn Apollonius của đoạn thẳng $AB$ ứng với tỉ số k.

Ta chứng minh bài toán trên như sau:

 Gọi $C,D$ là 2 điểm nằm trong và ngoài đoạn thẳng $AB$ sao cho $\frac{CA}{CB}=\frac{DA}{DB}=k$.

 Khi đó $\frac{PA}{PB}=\frac{CA}{CB}=\frac{DA}{DB}$ nên $C,D$ lần lượt là chân đường phân giác trong và ngoài của $\widehat{APB}$.

 $\Rightarrow \widehat{CPD}=90^{\circ}$. Vậy P nằm trên đường tròn đường kính $CD$.

 Ngược lại ta có: Nếu P nằm trên đường tròn đường kính $CD$ như trên thì ta có $\frac{PA}{PB}=k$.

 Như vậy tập hợp các điểm P là đường tròn đường kính $CD$.

 geogebra-export (1).png   29.48K   5 Số lần tải

Từ bài chứng minh trên chúng ta hoàn toàn có thể xây dựng đường tròn Apollonius của 1 tam giác như sau:

 Đường tròn Apollonius của $\Delta PAB$ ứng với đỉnh P là đường tròn có đường kính là đoạn thẳng nối 2 chân đường phân giác trong và ngoài $\widehat{APB}$.

Như vậy trong 1 tam giác có thể có 3 đường tròn Apollonius ứng với 3 đỉnh của tam giác. 

Và sau đây chúng ta cùng tìm hiểu 1 số tính chất của đường tròn này.

2.Tính chất: Đường tròn Apollonius có cả chục tính chất nhưng hôm nay mình chỉ xin phép đưa ra 2 tính chất cơ bản và hữu dụng nhất của đường tròn này mà thôi.

*Tính chất 1: Đường tròn Apollonius trực giao với đường tròn ngoại tiếp.

 geogebra-export.png   40.19K   4 Số lần tải

Chứng minh: Gọi $C,D$ lần lượt là đường phân giác trong và ngoài góc P của $\Delta ABP$. J là trung điểm $CD$. $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp $\Delta PAB$.

 Theo hệ thức New-ton ta có: $$JP^2=JC^2=JA.JB\Rightarrow JP$$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

 Điều đó có nghĩa $(J)$ và $(O)$ trực giao.(đpcm)

*Tính chất 2: 3 đường tròn Apollonius của 1 tam giác giao nhau tại 2 điểm isodynamic; 2 điểm này là 2 điểm nghịch đảo ứng với đường tròn $(O)$.

3.Ví dụ: Sau đây chúng ta sẽ xét 1 vài ví dụ để giúp dễ hiểu hơn cách áp dụng bài toán về đường tròn này.

*Ví dụ 1: Cho $\Delta ABC(AB>AC)$ và điểm M nằm trong tam giác sao cho $\frac{MB}{MC}=\frac{AB}{AC}$. Gọi N là điểm đối xứng với M qua $BC$. CMR: $\widehat{MAB}=\widehat{NAC}$.

+) Suy luận: Đầu tiên; ta nhìn thấy tỉ số $\frac{MB}{MC}=\frac{AB}{AC}$; điều này làm ta liên tưởng tới đường tròn Apollonius được xây dựng với tỉ số cố định trên đoạn BC; lại thêm việc phải chứng minh $\widehat{MAB}=\widehat{NAC}$, điều này làm ta nghĩ đến việc kẻ phân giác của $\widehat{BAC}$ rồi chứng minh đó cũng chính là phân giác của $\widehat{MAN}$. Từ đó; chúng ta xác định được yếu tố phụ cần kẻ thêm là phân giác trong ngoài của $\widehat{A}$ của $\Delta ABC$ hay cũng chính là đường tròn Apollonius $\widehat{A}$ của $\Delta ABC$. Từ đó ta có bài làm sau.

 geogebra-export (2).png   33.34K   5 Số lần tải

+) Bài làm:

 Kẻ $AE,AF$ lần lượt là các đường phân giác trong; ngoài của $\widehat{A}$ của $\Delta ABC$ ($E,F$ thuộc đường thẳng $BC$).

 Theo giả thiết và tính chất của đường phân giác ta có: $\frac{NB}{NC}=\frac{MB}{MC}=\frac{AB}{AC}=\frac{EB}{EC}=\frac{FB}{FC}$.

 Suy ra 5 điểm $M,N,A,E,F$ cùng nằm trên đường tròn Apollonius xác định bởi BC và tỷ số $\frac{AB}{AC}$.

 Vì $M,N$ đối xứng nhau qua $BC$ nên $M,N$ đối xứng nhau qua đường kính $EF$ của đường tròn nói trên.

 $\Rightarrow \widehat{MAE}=\widehat{NAE}$.

 Mặt khác $AE$ là phân giác $\widehat{BAC}\Rightarrow \widehat{BAE}=\widehat{CAE}$

 $\Rightarrow \widehat{MAB}=\widehat{NAC}$ (đpcm)

+) Nhận xét: Nhờ xác định được yếu tố cần vẽ thêm là đường tròn Apollonius của $\widehat{A}$ của $\Delta ABC$ mà bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều.

*Ví dụ 2: Cho $\Delta ABC$ có điểm P bất kì nằm trong tam giác. Gọi $X,Y,Z$ lần lượt là hình chiếu của P trên $BC,CA,AB$ ($\Delta XYZ$ còn gọi là tam giác Pedal). Hỏi: Khi $\Delta XYZ$ cân tại X thì P di chuyển trên đường nào?

+) Suy luận: Ta xác định được P nằm trên đường tròn Apollonius của $\widehat{A}$ của $\Delta ABC$; sử dụng 1 vài tính chất quen thuộc của tứ giác nội tiếp và tam giác Pedal ta có đpcm.

Thật sự bài này mình cũng chẳng biết nói gì hơn vì nhìn qua thì phức tạp nhưng 1 khi xác định được đúng hướng đi thì nó chỉ đơn giản thế thôi    

 geogebra-export (3).png   38.66K   4 Số lần tải

+) Bài làm: 

 Ta có: $XY=XZ$ khi và chỉ khi: $PC.\sin \widehat{ACB}=PB.\sin \widehat{ABC}$ (tính chất quen thuộc)

 Hay $\frac{PC}{PB}=\frac{\sin \widehat{ABC}}{\sin \widehat{ACB}}=\frac{AC}{BC}$

 Điều này tương đương P nằm trên đường tròn Apollonius của $\widehat{A}$ của $\Delta ABC$.

+) Nhận xét: Sử dụng đường tròn Apollonius làm cho lời giải ngắn gọn đến bất ngờ    .

***Phần ví dụ chỉ đến thế thôi; hi vọng các bạn đã hiểu và nắm rõ hơn cách áp dụng đường tròn Apollonius vào giải toán; chúc các bạn thành công***

 Thôi viết đến đây thôi; mọi người nhé like    và rate 5 sao cho mình nhé; à mà đừng quên ấn theo dõi chủ đề để nhận được những thông tin mới nhất nhé!   

Làm sao để cắt 1 miếng bìa hình tam giác vuông mà chiều dài cạnh góc vuông này gấp đôi chiều dài cạnh góc vuông kia thành:

 a) 2 phần để ghép lại thành 1 hình vuông.

 b) 5 phần bằng nhau.

***Mình tình cờ đọc được bài toán sau trong sách:

Gỉa sử tồn tại $\Delta ABC$ cân tại A.

Dựng đường cao $AH$ và phân giác $BC$ của $\Delta ABC$ $(H\epsilon BC, D\epsilon AC)$; dựng $DI$ vuông góc với $BC$; dựng $DE//BC(I\epsilon BC;E\epsilon AB).$

Do BD là phân giác $\widehat{ABC}$; $\Rightarrow \frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DC}=\frac{HI}{IC}=\frac{HI}{CH-HI}=\frac{HI}{\frac{BC}{2}-HI}=\frac{2HI}{BC-2HI}=\frac{AB-2HI}{BC-(BC-2HI)}=\frac{AB-2HI}{2HI}$

Và $\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DC}=\frac{AE}{EB}=\frac{AB-EB}{EB}$

$\Rightarrow \frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{AB-2HI}{2HI}=\frac{AB-EB}{EB}=\frac{(AB-EB)-(AB-2HI)}{EB-2HI}=\frac{2HI-EB}{EB-2HI}=-1$

$\Rightarrow AD+DC=AC=0$

=>A trùng C ; vô lí

Vậy không thể tồn tại tam giác cân.

 geogebra-export.png   14.36K   4 Số lần tải

***Mọi người nghĩ gì về bài toán trên; nếu theo bài toán trên thì chẳng phải là ko có tam giác cân sao.Hmmm...

Mời mọi người góp ý.