Duy Quang Vu 2007

Đặt $x^2-x+13=k^2(k\in \mathbb{N})\\ \Leftrightarrow 4x^2-4x+52=4k^2\\ \Leftrightarrow 4x^2-4x+1-4k^2=-51\\ \Leftrightarrow (2x-1)^2-(2k)^2=-51\\ \Leftrightarrow (2x+2k-1)(2x-2k-1)=-51$

Đến đây xét các trường hợp nhé.

Ta có: $x^3,y^3$ chia 9 dư 0;1;8

$\Rightarrow 2y^3$ chia 9 dư 0;2;7;

$x^3+4$ chia 9 dư 4;5;3.

Do đó phương trình vô nghiệm nguyên.

Ta xét:

$(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y})(x+y+z)\\ =\frac{x^{2}+x(y+z)}{y+z}+\frac{y^{2}+y(z+x)}{z+x}+\frac{z^{2}+z(x+y)}{x+y}\\ =\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}}{z+x}+\frac{z^{2}}{x+y}+x+y+z\\ =x+y+z$

$\Rightarrow Q(x+y+z)=(x+y+z)\\ \Leftrightarrow (Q-1)(x+y+z)=0\\ \Leftrightarrow \begin{bmatrix} Q=1\\ x+y+z=0 \end{bmatrix}$

Nếu x+y+z=0

$\Rightarrow x=-(y+z); y=-(z+x); z=-(x+y)\\ \Rightarrow Q=-\frac{y+z}{y+z}-\frac{z+x}{z+x}-\frac{x+y}{x+y}\\ \Rightarrow Q=-1-1-1\\ \Rightarrow Q=-3$

Vậy ta có Q=1 hoặc Q=-3(đpcm)

Thi chuyên cũng phải chứng minh bất đẳng thức Côsi ạ, mặc dù chứng minh khá đơn giản.