netcomath

Nhưng mà phải chứng minh dãy hội tụ đã rồi quy về phương trình giới hạn 

Bạn chứng minh được nó hội tụ không

Thay $x, y$ bởi $0: 2f(0)+f(zf(0))=0$, đặt $a=f(0)$

Nếu $a != 0$ thay z bởi $\frac{z}{a}: f(z)=-2a$ (không thỏa hàm số)

$\Rightarrow a=0$

Thay $y$ bởi 0 được $f(z(f(x)))=zx (1)$

Thay z bởi 1 vào (1) dễ thấy $f$ đơn ánh

Thay z bởi $f(x),  x$ bởi 1 vào (1) được $f(f(x)*f(1))=f(x)$

$\Rightarrow f(x)*f(1)=x$

Thay vào $x, y, z$ bởi 1 đề bài được $f(1)^2=1$

Vậy $f(x)=x$ vì $f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$

 

xin lỗi nha nãy vội quá bị ngu nên sai mất

x,y,z là thực dương thì làm sao thay x,y bởi 0 được ạ

Thấy mấy bài căng quá, mình đăng thêm bài nhẹ nhẹ xíu

Bài 18: Cho tam giác ABC có tâm nội tiếp I có P là điểm bất kì trên cung BC không chứa A. Đường thẳng PB cắt đường tròn (AIB) tại M. Đường thẳng PC cắt đường tròn ngoại tiếp (AIC) tại N. Chứng minh P là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN

Em giải thế này ạ: 

Tìm max: $x+y+z\leq \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)} \leq 3$

A $ \leq \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}+x^2+y^2+z^2 \leq 36$ Đẳng thức xảy ra <=> x=y=z=3

Tìm min: $ 2A+27 \geq (x+y+z)^2+2(x+y+z)$ 

Xét hàm f(t)= $t^2+2t$. f'(t)=2t+2, f''(t)= 2>0 => A $ \geq -14$

Cho dãy số thực: 

$ x_1=2006$ ; $x_{n+1}=\sqrt{3}+\frac{x_n}{\sqrt{x_{n}^{2}-1}}$

Tính $\lim\limits_{n \to+ \infty} x_n$

TH1: Nếu trong x,y,z có một số bằng 0 => ...

TH2:

Xét x,y,z khác 0. Kí hiệu (1), (2),(3) theo thứ tự là các phương trình của hệ

Lấy (1)+(2)+(3)=> $xy+yz+zx=\frac{S^2-3S}{2}$

Lấy (1)*(2)*(3)=> xyz theo S

Từ (2) có z=$\frac{y}{4-z}$ thay vào (3) => zx^2+xy^2+yz^2 theo S, tương tự x^2y+y^2z+z^2x=> (x+y+z)(xy+yz+zx)= (x^2y+y^2+z^2x)+(xy^2+yz^2+zx^2)+3xyz

Mình thay vào rồi tính 

Cho tam giác ABC đường cao AD,BE,CF đồng quy tại H. G đối xứng với F qua BC. CG cắt BE tại L. LF cắt AC tại K. Chứng minh rằng:KG đi qua trực tâm H.

Bạn tham khảo IMO sortlist 2016

Bài 11: Cho tam giác ABC. Đường tròn (I) nội tiếp $\Delta$ ABC tiếp xúc với BC,CA,AB tại D,E,F. Đường thẳng DI cắt đường tròn tâm A bán kính AE tại M,N ( N nằm giữa M và D). Các đường thẳng AD,EF cắt nhau tại P. Các đường thẳng MA,NP cắt nhau tại Q. Gọi H là giao điểm thứ hai của AD và (I). Đường thẳng qua trung điểm của DH,DE cắt AC tại L. Chứng minh rằng:

a) QH vuông góc với AD

b) DL song song với EF.

Bài này là chọn đội tuyển Quảng Nam, bạn có thể đưa về p,q,r