Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


CauVang274

Đăng ký: 02-11-2019
Offline Đăng nhập: 30-06-2020 - 18:23
-----

#727961 Chứng minh bất đẳng thức

Gửi bởi CauVang274 trong 02-12-2019 - 20:50

$\sqrt{3}>\frac{m}{n}\Leftrightarrow 3>\frac{m^2}{n^2}\Leftrightarrow 3n^2>m^2$

Do $m,n$ là các số nguyên dương nên $3n^2\ge m^2+1$

$\Leftrightarrow 3\ge \frac{m^2}{n^2}+\frac{1}{n^2}$ (1)

Ta cần chứng minh: $\frac{m^2}{n^2}+\frac{1}{n^2}>\left(\frac{m}{n}+\frac{1}{3mn}\right)^2$ (2)

Thật vậy, BĐT $\Leftrightarrow \frac{1}{3n^2}-\frac{1}{9m^2n^2}>0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{3n^2}\left(1-\frac{1}{3m^2}\right)>0$ ( luôn đúng do $m$ nguyên dương )

Do đó từ (1) và (2) ta có $3>\left(\frac{m}{n}+\frac{1}{3mn}\right)^2\Leftrightarrow \sqrt{3}>\frac{m}{n}+\frac{1}{3mn}$

BĐT được chứng minh hoàn toàn.




#727646 Chứng minh tồn tại ít nhất một số chẵn

Gửi bởi CauVang274 trong 23-11-2019 - 22:00

Nghĩ ra rồi, mọi người kiểm tra giúp mình 

Giả sử cả 6 số đều lẻ. Đặt $a=2n+1\Leftrightarrow a^2=\left(2n+1\right)^2=4n^2+4n+1=4n\left(n+1\right)+1$

Do đó $a^2$ chia 8 dư 1.

Chứng minh tương tự thì $b^2,c^2,d^2,e^2,f^2$ cũng chia 8 dư 1.

Suy ra VT chia 8 dư 5; VP chia 8 dư 1 => mẫu thuẫn.

Vậy giả sử sai hay trong 6 số đã cho có ít nhất một số chẵn (đpcm)




#727109 Tìm các giá trị nguyên x,y thỏa mãn đẳng thức:

Gửi bởi CauVang274 trong 04-11-2019 - 20:33

PT <=> $$x^2=\frac{y^3-1}{y+2}$$

Do đó $$y^3-1⋮y+2$$

<=> $$y^3+8-9⋮y+2$$

<=> $$(y+2)(y^2-2y+4)-9⋮y+2$$

<=> $$9⋮y+2$$

<=> $$y+2\in Ư\left(9\right)=\left\{\pm 1;\pm 3;\pm 9\right\}$$

<=> $$y\in \left\{-1;-3;-5;1;7;-11\right\}$$

Thay vào dễ dàng tìm được $x$ 




#727107 Tìm số có 2 chữ số

Gửi bởi CauVang274 trong 04-11-2019 - 20:06

Tìm số có 2 chữ số $\overline{ab}$ sao cho $p=\frac{ab}{\left|a-b\right|}$ là một số nguyên tố.