Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Syndycate

Đăng ký: 05-11-2019
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 12:44
*****

#738105 [TOPIC] Mỗi ngày hai bài toán tổ hợp

Gửi bởi Syndycate trong Hôm nay, 11:21

:D

Đề thi học sinh giỏi Toán tại trường THCS Tân Bình, Hải Dương gồm ba bài : Hình học, Đại số và Tổ hợp. Có 100 em tham gia kì thi, kết quả cho thấy: 80 em giải được bài hình, 70 em giải được bài Đại, 50 em giải được bài Tổ hợp, 60 em giải được cả bài Hình và bài Đại, 50 em giải được được cả Hình và Tổ Hợp,40 em giải được cả Đại và Tổ Hợp, và 30 em giải được cả 3 bài. Hỏi có bao nhiêu em giải được ít nhất 1 bài thi ? 




#738092 $\frac{a}{b}+\frac{b}{c...

Gửi bởi Syndycate trong Hôm qua, 21:23

Nháp xong bài này,mình tìm được 1 bất đẳng thức nữa cũng đúng nhưng dễ hơn như sau: 

Với a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$ : 

$\sum_{cyc}\frac{a}{b}+\sum_{cyc}\frac{b}{a}+\frac{6}{a+b+c-1}\geq 9$




#738050 C/m $A=19n^{6}+5n^{5}+1890n^{3}-19n^{...

Gửi bởi Syndycate trong 06-08-2020 - 21:36

?? Điều kiện của n là gì ? Chắc là n nguyên dương nhỉ? Với điều kiện đấy thì:  

Nếu n chia hết cho 5 thì có hai trường hợp: 

n tận cùng là 5 thì khi đó A có tận cùng là $5+5+0-5-5+3=3$ 

Tương tự với trường hợp n có chữ số tận cùng là 0

Với n không chia hết cho 5 thì:

Bổ đề Ơ-le: $x^4\equiv 1(mod 5)\rightarrow x^4-1\vdots 5\rightarrow (x^2+1)(x-1)(x+1)\vdots 5\rightarrow (x^2-4+5)(x-1)(x+1)\vdots 5\rightarrow (x-2)(x+2)(x-1)(x+1)+5(x-1)(x+1)\vdots 5(true)$ (với x không chia hết cho 5) 

$A=19n^2(n^4-1)+5n(n^4-1)+1890n^3+1993$ 

Kết hợp với $n^4-1\vdots 2;n^4-1\vdots 5$ nên $n^4-1$ có tận cùng là 0

Do đó A có chữ số tận cùng là 3 nên vô lý 

Vậy ta chứng minh xong.




#738019 Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên Bắc Giang

Gửi bởi Syndycate trong 06-08-2020 - 10:13

Câu hình, phần $a),b)$ không khoai lắm, mình xin phép trình bày $c)$ hình: 

$\triangle ABM\sim \triangle AMC\rightarrow \frac{AB}{AM}=\frac{AM}{AC}\rightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{AM^2}{AB^2}=\frac{HM^2}{HB^2}\rightarrow \frac{AB}{HB}=\frac{AM}{HM};\triangle ABH\sim \triangle AOC:\frac{AB}{HB}=\frac{AO}{CO}=\frac{AO}{R}=\frac{AO}{OM}=\frac{AM}{HM};\triangle AOM\sim \triangle MOH\rightarrow \frac{AM}{AO}=\frac{MH}{OM}\rightarrow dpcm$




#737955 Đề thi HSG tỉnh Long An ngày 23-10-2012

Gửi bởi Syndycate trong 05-08-2020 - 00:56

$\boxed{a)}(2+a^2)(2+b^2)=a^2b^2+2a^2+2b^2+4\geq \frac{9}{16}[2(a+b)^2+7]\rightarrow 16(a^2b^2+2a^2+2b^2+4)\geq 9[2(a+b)^2+7]\rightarrow (16a^2b^2-8ab+1)+(14a^2+14b^2-28ab)\geq 0\rightarrow (4ab-1)^2+14(a-b)^2\geq 0(true)$

Dấu bằng xảy ra khi: $\left\{\begin{matrix}a=b=\frac{1}{2} & & \\ a,b>0 & & \end{matrix}\right.$

$\boxed{b)}$ Theo nguyên lý $Dirichlet$ ta giả sử $a,b\geq \frac{1}{2}$, khi đó: 

$(a^2-\frac{1}{4})(b^2-\frac{1}{4})\geq 0\rightarrow a^2b^2-\frac{1}{4}(a^2+b^2)+\frac{1}{16}\geq 0\rightarrow a^2b^2+\frac{1}{16}\geq \frac{1}{4}(a^2+b^2)$

Lại có: $(a^2+2)(b^2+2)=a^2b^2+2a^2+2b^2+4=a^2b^2+\frac{1}{16}+\frac{63}{16}+2a^2+2b^2\geq \frac{1}{4}(a^2+b^2)+2(a^2+b^2)+\frac{63}{16}=\frac{9}{4}(a^2+b^2)+\frac{63}{16}\geq_{a)} \frac{9}{16}[2(a+b)^2+7]$

Khi đó, cần chứng minh: 

$\prod_{cyc}(a^2+2)\geq \frac{9}{16}(a+b+c+3)^2\rightarrow \frac{9}{16}[2(a+b)^2+7](c^2+2)\geq \frac{9}{16}(a+b+c+3)^2\rightarrow [2(a+b)^2+7](c^2+2)\geq (a+b+c+3)^2$

Đặt $\left\{\begin{matrix}a+b=x & & \\ c=y & & x,y>0 \end{matrix}\right.$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: 

$(2x^2+7)(y^2+2)\geq (x+y+3)^2\rightarrow 2x^2y^2+7y^2+4x^2+14\geq x^2+2xy+y^2+6x+6y+9\rightarrow 2(xy-\frac{1}{2})^2+3(x-1)^2+6(y-\frac{1}{2})^2\geq 0(true)$

Dấu bằng xảy ra khi: $\left\{\begin{matrix}x=1\rightarrow a=\frac{1}{2},b=\frac{1}{2} & \\ y=c=\frac{1}{2} & \\ x,y,a,b,c>0 & \end{matrix}\right.$




#737954 ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN

Gửi bởi Syndycate trong 04-08-2020 - 23:13

Hình cái bổ đề : 

Hình gửi kèm

  • bổ đề 1.png



#737953 ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN

Gửi bởi Syndycate trong 04-08-2020 - 23:10

Thêm 1 đề nữa cũng từ anh Khương (mình khuyến mãi thêm câu hình mình làm lúc mới ôn thi ) 

Hình gửi kèm

  • KND.jpg
  • 3.jpg
  • 1.jpg
  • 2.jpg



#737929 Đề thi học sinh giỏi tỉnh Đồng Nai lớp 10 2013

Gửi bởi Syndycate trong 04-08-2020 - 01:52

Cách khác cho câu bất ạ: 

$\left\{\begin{matrix}a+b=x & \\b+c=y & \\ c+a=z & \end{matrix}\right.x,y,z>0$

$\rightarrow \left\{\begin{matrix}a+3c=2z+y-x & \\ a+3b=2x+y-z & \\ 2a=x+z-y & \end{matrix}\right.$

$\rightarrow VT=\frac{2z+y-x}{x}+\frac{2x+y-z}{z}+\frac{x+z-y}{y}=(\frac{2x}{z}+\frac{2z}{x})+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})-2\geq 4+2+2-3=5$




#737924 Một bổ đề rất hay

Gửi bởi Syndycate trong 03-08-2020 - 21:26

Bổ đề $Sawayama -Thebault$
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Lấy D là 1 điểm nằm trên AC. Dựng đường tròn tiếp xúc DB,DC,(O) tại E, F, J. Chứng minh rằng tâm nội tiếp tam giác ABC nằm trên EF. 



#737919 [TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUY...

Gửi bởi Syndycate trong 03-08-2020 - 18:40

Một cách đơn giản bằng AM-GM: 

$P+3=\sum_{cyc}\frac{a+b}{b}+\frac{6abc}{ab+bc+ca}\geq 4.\sqrt[4]{\frac{6\prod_{cyc}(a+b)}{ab+bc+ca}}\geq_{\frac{8}{9}ineq} 4\sqrt[4]{\frac{6.\frac{8}{9}(\sum_{cyc}a)(\sum_{cyc}ab)}{\sum_{cyc}ab}}=4.2=8\rightarrow P\geq 5$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài dưới cũng có thể làm tương tự bằng cách này.




#737906 Chứng minh rằng: (x – 2)(y – 2)(z – 2) <=1.

Gửi bởi Syndycate trong 03-08-2020 - 11:11

Đây là câu bất thi chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa từ năm 2005-2006.




#737905 [TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUY...

Gửi bởi Syndycate trong 03-08-2020 - 11:00

Góp thêm bài mới để luyện tay nào :D

Cho $a,b,c>0:a+b+c=3$: Tìm GTNN: 

$P=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{6abc}{ab+bc+ca}$

Hay cũng có thể tìm được GTNN với :

$P=\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{6abc}{ab+bc+ca}$

Trích THTT/Tháng 7 và vẫn còn hạn.




#737896 bất

Gửi bởi Syndycate trong 02-08-2020 - 21:05

8.3

$\sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{b+c-4}}=\sum_{cyc}\frac{2a}{2.\sqrt{b+c-4}}\geq \sum_{cyc}\frac{2a}{\frac{b+c-4+4}{2}}=\sum_{cyc}\frac{4a}{b+c}\geq_{Nesbitt }3.2=6$

P/s: Ôn lại tí kỉ niệm hồi mới làm bất ^^ (Acc AgentEthanHunt)




#737893 Chứng minh $\large \frac{1+a^2}{1+3b+c^2}+...

Gửi bởi Syndycate trong 02-08-2020 - 17:33

Bạn ơi ta có (x+y+z)^2 >= 3(xy+yz+xz). Chia hai vế của bất đẳng thức trên cho xy+yz+xz thì đc (x+y+z)^2>=3,rồi làm tiếp bài toán. Nhưng mình chưa biết xy+yz+xz âm hay dương hay bằng 0 đâu mà suy ra (x+y+z)^2>=3 đc bạn?

Với lại bạn đọc kĩ lời giải hộ mình ? Mình đổi biến thế này rồi mà nên nó chắc chắn dương.

$\left\{\begin{matrix}1+a^2=x & \\ 1+b^2=y & \\ 1+c^2=z & \end{matrix}\right.$




#737884 Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Hải Dương 2015-2016 (vòng 1)

Gửi bởi Syndycate trong 02-08-2020 - 12:57

Lời giải câu bất: (Vế phải phải là $\frac{1}{4}$ mới chuẩn ạ) 

$\sum_{cyc}\frac{b^2}{(ab+2)(2ab+2)}=\sum_{cyc}\frac{\frac{b^2}{b^2}}{\frac{ab+2}{b}.\frac{2ab+2}{b}}=\sum_{cyc}\frac{1}{(a+\frac{2}{b})(2a+\frac{2}{b})}$

Đặt: $\left\{\begin{matrix}a=\frac{x}{y} & \\ b=\frac{y}{z} & \\ c=\frac{z}{x} & \end{matrix}\right.$

Khi đó, bất đẳng thức trở thành:

$\sum_{cyc}\frac{1}{(a+\frac{2}{b})(2a+\frac{2}{b})}=\sum_{cyc}\frac{1}{(\frac{x}{y}+\frac{2z}{y})2(\frac{x}{y}+\frac{z}{y})}=\sum_{cyc}\frac{y^2}{2(x+2z)(x+z)}=\sum_{cyc}\frac{y^2}{2(x^2+2z^2+3xz)}\geq \sum_{cyc}\frac{y^2}{2(x^2+2z^2+\frac{3}{2}[x^2+z^2])}=\sum_{cyc}\frac{y^2}{5x^2+7z^2}$

Đặt $\left\{\begin{matrix}m=x^2 & \\ n=y^2 & \\ p=z^2 & \end{matrix}\right.m,n,p>0$

$\rightarrow L.H.S\geq \sum_{cyc}\frac{n}{5m+7p}=\sum_{cyc}\frac{n^2}{5mn+7pn}\geq_{C-S} \frac{(\sum_{cyc}n)^2}{12(\sum_{cyc}mn)}\geq_{AM-GM}\frac{(\sum_{cyc}n)^2}{\frac{12(\sum_{cyc}n)^2}{3}}=\frac{1}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$