HPhatMessi

Cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn [0,1]. Chứng minh:

a) $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

b) $2(a^{3}+b^{3}+c^{3})\leq 3+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

1/ $\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3x^{2}-14x-8=0$

2/ $4\sqrt{x+3}+2\sqrt{2x+7}=(x+1)(x^{2}+4x+2)$

Cho M là 1 điểm bất kì trong ΔABCΔABC. Gọi A', B', C' lần lượt là giao điểm của AM, BM, CM với BC, AC, AB.

a/ Chứng minh rằng tổng MA′AA′+MB′BB′+MC′CC′MA′AA′+MB′BB′+MC′CC′ không đổi khi M di chuyển.

b/ Gọi P, Q, R, H, G lần lượt là trọng tâm của các tam giác MBC, MAC, MAB, PQR, ABC. Chứng minh rằng ba điểm M, H, G thẳng hàng.

Cần giúp câu b) ạ (

Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn: a+b+c=3.

Chứng minh rằng: $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca$

Bài 208: Cho tam giác AB<AC. Gọi AI là đường phân giác trong của góc A, đường phân giác ngoài góc A cắt đường thẳng BC tại D, M là trung điểm BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt các đường thẳng AB, AC tại E, F. Gọi K là điểm đối xứng của F qua M.

a) Chứng minh: BMKE là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi N là trung điểm EF. Chứng minh: tứ giác AMND là hình thang.

c) Qua I kẻ đường thẳng d vuông góc với AI cắt cạnh AC tại P. Giả sử AP>AC, hãy so sánh diện tích tam giác AIM và CPM.

Ta có: A= $\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}$ = $\sqrt{5a+4(a+b+c)}+\sqrt{5b+4(a+b+c)}+\sqrt{5c+4(a+b+c)}$ = $\sqrt{9a+4b+4c}+\sqrt{9b+4c+4a}+\sqrt{9c+4b+4a}$

Áp dụng Bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có: $(9a+4b+4c)(a+b+c)\geq (3a+2b+2c)^{2} \Leftrightarrow \sqrt{9a+4b+4c}\geq 3a+2b+2c$

Tương tự ta cũng có:  $(9b+4c+4a)(a+b+c)\geq (3b+2c+2a)^{2} \Leftrightarrow \sqrt{9b+4c+4a}\geq 3b+2c+2a$;

                                    $(9c+4a+4b)(a+b+c)\geq (3c+2a+2b)^{2} \Leftrightarrow \sqrt{9c+4a+4b}\geq 3c+2a+2b$.

Do đó: A= $\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}$ $\geq$ 7a+7b+7c=7. Dấu đẳng thức xảy ra khi: a=1; b=c=0 và các hoán vị tương ứng