HPhatMessi

Bài toán 1: Cho tứ giác điều hòa ABCD nội tiếp (O); M là giao điểm hai tiếp tuyến tại B, D của (O). Đường thẳng song song với AB kẻ qua C cắt DB, DA lần lượt ở H, K. Chứng minh rằng: HC=HK.

sao mình có cảm giác bài này sai đề ạ, trong tài liệu về tứ giác điều hoà của mathscope?

Xin phép mọi người ạ, em là HSG hạng 3 toán tỉnh lớp 9 nhưng do một số lý do mà em đã sai lầm và không chọn vào chuyên toán. Giờ thì em đang cố học bắt kịp những bạn bên lớp chuyên để theo đuổi HSG toán vì em rất đam mê toán ạ!

Do không được học chuyên toán, nên em học chậm hơn và vẫn còn đi sau mấy bạn ấy nhiều chỗ. Vì thế mong mọi người có thể giúp đỡ, chỉ em những chuyên đề cần học của hsg toán 10 không ạ? Hoặc là một số kinh nghiệm cũng được ạ. Em xin cảm ơn nhiều!

Giải phương trình: 

$\frac{4x^{2}+10x+14}{x-1}+x+7=\sqrt{x^{2}-3x-1}$

Cho các số thực dương $a,b,c\geq1$ và $a+b+c=9$.

Chứng minh rằng:$\sqrt{ab+bc+ca}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

Đây là lời giải của mình:           

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương, ta có:

$\sqrt{a}+\sqrt{a}+\frac{a^{2}}{3\sqrt{3}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^{3}}{3\sqrt{3}}}=\frac{3a}{\sqrt[3]{3\sqrt{3}}}$

Tương tự, ta cũng có:               $2\sqrt{b}+\frac{b^{2}}{3\sqrt{3}}\geq \frac{3b}{\sqrt[3]{3\sqrt{3}}}$

                                              $2\sqrt{c}+\frac{c^{2}}{3\sqrt{3}}\geq \frac{3c}{\sqrt[3]{3\sqrt{3}}}$

Từ đó, ta suy ra: $2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3\sqrt{3}}\geq \frac{3(a+b+c)}{\sqrt[3]{3\sqrt{3}}}$

Mặt khác, do:  $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3\sqrt{3}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{9\sqrt{3}}=\frac{81}{9\sqrt{3}}=3\sqrt{3}$

                 và: $\frac{3(a+b+c)}{\sqrt[3]{3\sqrt{3}}}=\frac{27}{3\sqrt{3}}=9\sqrt{3}$

     nên ta có: $2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 6\sqrt{3}$ hay $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq 3\sqrt{3}$       (1)

     Mà:          $3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^{2}=81$ hay $\sqrt{ab+bc+ca}\leq \sqrt{27}= 3\sqrt{3}$      (2)

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.

Cho mình hỏi là đoạn này từ 3 dòng này suy ra $2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 6\sqrt{3}$ như thế là sai dấu rồi đúng không ạ, nhưng mà mình chưa biết sửa lại thế nào, mọi người giúp mình xem có cách nào sửa lại gọn không, hay phải làm lại cách khác ạ?

Từ đó, ta suy ra: $2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3\sqrt{3}}\geq \frac{3(a+b+c)}{\sqrt[3]{3\sqrt{3}}}$

Mặt khác, do: $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3\sqrt{3}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{9\sqrt{3}}=\frac{81}{9\sqrt{3}}=3\sqrt{3}$

                 và: $\frac{3(a+b+c)}{\sqrt[3]{3\sqrt{3}}}=\frac{27}{3\sqrt{3}}=9\sqrt{3}$

nên ta có: $2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 6\sqrt{3}$ hay $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq 3\sqrt{3}$        

P.S: Có lẽ mình dùng cách chứng minh hơi dài dòng, mọi người thông cảm ạ!

Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1

Chứng minh rằng $\sqrt{16a+9}+\sqrt{16b+9}+\sqrt{16c+9}\geq 11$

Ta có: $16a+9=16a+9(a+b+c)=25a+9b+9c=(25a+9b+9c)(a+b+c)\geq (5a+3b+3c)^{2}$   (BĐT Bunyakovski)

$\Rightarrow \sqrt{16a+9}\geq 5a+3b+3c$

Tương tự ta cũng có: $\sqrt{16b+9}\geq 5b+3c+3a; \sqrt{16c+9}\geq 5c+3a+3b$

Do đó, $\sqrt{16a+9}+\sqrt{16b+9}+\sqrt{16c+9}\geq 11(a+b+c)=11$

Cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn [0,1]. Chứng minh:

a) $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

b) $2(a^{3}+b^{3}+c^{3})\leq 3+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

1/ $\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3x^{2}-14x-8=0$

2/ $4\sqrt{x+3}+2\sqrt{2x+7}=(x+1)(x^{2}+4x+2)$

Cho M là 1 điểm bất kì trong ΔABCΔABC. Gọi A', B', C' lần lượt là giao điểm của AM, BM, CM với BC, AC, AB.

a/ Chứng minh rằng tổng MA′AA′+MB′BB′+MC′CC′MA′AA′+MB′BB′+MC′CC′ không đổi khi M di chuyển.

b/ Gọi P, Q, R, H, G lần lượt là trọng tâm của các tam giác MBC, MAC, MAB, PQR, ABC. Chứng minh rằng ba điểm M, H, G thẳng hàng.

Cần giúp câu b) ạ (

Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn: a+b+c=3.

Chứng minh rằng: $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca$

Bài 208: Cho tam giác AB<AC. Gọi AI là đường phân giác trong của góc A, đường phân giác ngoài góc A cắt đường thẳng BC tại D, M là trung điểm BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt các đường thẳng AB, AC tại E, F. Gọi K là điểm đối xứng của F qua M.

a) Chứng minh: BMKE là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi N là trung điểm EF. Chứng minh: tứ giác AMND là hình thang.

c) Qua I kẻ đường thẳng d vuông góc với AI cắt cạnh AC tại P. Giả sử AP>AC, hãy so sánh diện tích tam giác AIM và CPM.

Ta có: A= $\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}$ = $\sqrt{5a+4(a+b+c)}+\sqrt{5b+4(a+b+c)}+\sqrt{5c+4(a+b+c)}$ = $\sqrt{9a+4b+4c}+\sqrt{9b+4c+4a}+\sqrt{9c+4b+4a}$

Áp dụng Bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có: $(9a+4b+4c)(a+b+c)\geq (3a+2b+2c)^{2} \Leftrightarrow \sqrt{9a+4b+4c}\geq 3a+2b+2c$

Tương tự ta cũng có:  $(9b+4c+4a)(a+b+c)\geq (3b+2c+2a)^{2} \Leftrightarrow \sqrt{9b+4c+4a}\geq 3b+2c+2a$;

                                    $(9c+4a+4b)(a+b+c)\geq (3c+2a+2b)^{2} \Leftrightarrow \sqrt{9c+4a+4b}\geq 3c+2a+2b$.

Do đó: A= $\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}$ $\geq$ 7a+7b+7c=7. Dấu đẳng thức xảy ra khi: a=1; b=c=0 và các hoán vị tương ứng