HPhatMessi

Cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn [0,1]. Chứng minh:

a) $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

b) $2(a^{3}+b^{3}+c^{3})\leq 3+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

1/ $\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3x^{2}-14x-8=0$

2/ $4\sqrt{x+3}+2\sqrt{2x+7}=(x+1)(x^{2}+4x+2)$

Cho M là 1 điểm bất kì trong ΔABCΔABC. Gọi A', B', C' lần lượt là giao điểm của AM, BM, CM với BC, AC, AB.

a/ Chứng minh rằng tổng MA′AA′+MB′BB′+MC′CC′MA′AA′+MB′BB′+MC′CC′ không đổi khi M di chuyển.

b/ Gọi P, Q, R, H, G lần lượt là trọng tâm của các tam giác MBC, MAC, MAB, PQR, ABC. Chứng minh rằng ba điểm M, H, G thẳng hàng.

Cần giúp câu b) ạ (

Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn: a+b+c=3.

Chứng minh rằng: $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca$

Bài 1:

a) Phân tích đa thức sau thành 3 nhân tử:

 $f(x) = 2x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+3$

b) Cho x$\geq$1, hãy rút gọn biểu thức sau: 

$\frac{\sqrt{\sqrt{x-1}+\sqrt{x}+\sqrt{x+1}+2\sqrt{\sqrt{x^{2}-1}+\sqrt{x^{2}-x}}}+\sqrt{\sqrt{x-1}+\sqrt{x}+\sqrt{x+1}-2\sqrt{\sqrt{x^{2}-1}+\sqrt{x^{2}-x}}}}{\sqrt{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}}$

Bài 2: 

a) Tìm tất cả các số thực m để phương trình $(2m+3)x^{2}-4mx+4=0$ có 2 nghiệm thực phân biệt $x_{1},x_{2}$ thoả mãn:

$x_{1}(x_{1}+1)+x_{2}(x_{2}+1)=5$

b) Gọi $x_{0}$ là nghiệm dương của phương trình: $2\sqrt{2}x^{2}+x-1=0$. Chứng minh A là một số nguyên tố:

A=$(\frac{x_{0}+1}{\sqrt{x_{0}^{4}+x_{0}+1}-x^{2}})^{2}$

Bài 3: Chứng minh rằng tích 2015.2016.2017.2018.2019.2020.2021.2022 không phải là số chính phương.

Bài 4: Từ 1 tấm thiếc $T_{0}$ có dạng tam giác đều cạnh 2,4 m, người thợ muốn cắt ra một miếng thiếc $T_{1}$ dạng hình chữ nhật để cuộn lại và gò thành mặt xung quanh của một cái thùng hình trụ (phần ghép mí để hàn lại là không đáng kể). Biết rằng $T_{1}$ có 1 cạnh nằm trên một cạnh của $T_{0}$ và cạnh đối diện có 2 điểm đầu thuộc 2 cạnh còn lại của $T_{0}$. Tìm GTLN của diện tích xung quanh cái thùng đó.

Bài 5: Cho tam giác AB<AC. Gọi AI là đường phân giác trong của góc A, đường phân giác ngoài góc A cắt đường thẳng BC tại D, M là trung điểm BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt các đường thẳng AB, AC tại E, F. Gọi K là điểm đối xứng của F qua M.

a) Chứng minh: BMKE là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi N là trung điểm EF. Chứng minh: tứ giác AMND là hình thang.

c) Qua I kẻ đường thẳng d vuông góc với AI cắt cạnh AC tại P. Giả sử AP>AC, hãy so sánh diện tích tam giác AIM và CPM.