Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


HPhatMessi

Đăng ký: 08-12-2019
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 18:15
-----

Chủ đề của tôi gửi

Chứng minh rằng:$\sqrt{ab+bc+ca}\leq \sqrt{a}+...

16-10-2020 - 18:39

Cho các số thực dương $a,b,c\geq1$ và $a+b+c=9$.

Chứng minh rằng:$\sqrt{ab+bc+ca}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

 

Đây là lời giải của mình:           

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương, ta có:

$\sqrt{a}+\sqrt{a}+\frac{a^{2}}{3\sqrt{3}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^{3}}{3\sqrt{3}}}=\frac{3a}{\sqrt[3]{3\sqrt{3}}}$

Tương tự, ta cũng có:               $2\sqrt{b}+\frac{b^{2}}{3\sqrt{3}}\geq \frac{3b}{\sqrt[3]{3\sqrt{3}}}$

                                              $2\sqrt{c}+\frac{c^{2}}{3\sqrt{3}}\geq \frac{3c}{\sqrt[3]{3\sqrt{3}}}$

 

Từ đó, ta suy ra: $2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3\sqrt{3}}\geq \frac{3(a+b+c)}{\sqrt[3]{3\sqrt{3}}}$

Mặt khác, do:  $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3\sqrt{3}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{9\sqrt{3}}=\frac{81}{9\sqrt{3}}=3\sqrt{3}$

                 và: $\frac{3(a+b+c)}{\sqrt[3]{3\sqrt{3}}}=\frac{27}{3\sqrt{3}}=9\sqrt{3}$

     nên ta có: $2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 6\sqrt{3}$ hay $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq 3\sqrt{3}$       (1)

     Mà:          $3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^{2}=81$ hay $\sqrt{ab+bc+ca}\leq \sqrt{27}= 3\sqrt{3}$      (2)

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.

 

Cho mình hỏi là đoạn này từ 3 dòng này suy ra $2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 6\sqrt{3}$ như thế là sai dấu rồi đúng không ạ, nhưng mà mình chưa biết sửa lại thế nào, mọi người giúp mình xem có cách nào sửa lại gọn không, hay phải làm lại cách khác ạ?

 

Từ đó, ta suy ra: $2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3\sqrt{3}}\geq \frac{3(a+b+c)}{\sqrt[3]{3\sqrt{3}}}$

Mặt khác, do: $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3\sqrt{3}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{9\sqrt{3}}=\frac{81}{9\sqrt{3}}=3\sqrt{3}$

                 và: $\frac{3(a+b+c)}{\sqrt[3]{3\sqrt{3}}}=\frac{27}{3\sqrt{3}}=9\sqrt{3}$

nên ta có: $2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 6\sqrt{3}$ hay $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq 3\sqrt{3}$        

 

P.S: Có lẽ mình dùng cách chứng minh hơi dài dòng, mọi người thông cảm ạ!


CMR: Σ(x/x-1)2>=1

20-09-2020 - 15:46

Cho các số thực x, y, z khác 1 và xyz = 1. 

Chứng minh: 

 

 

$\frac{x^{2}}{(x-1)^{2}}+\frac{y^{2}}{(y-1)^{2}}+\frac{z^{2}}{(z-1)^{2}}\geq 1$


Cmr: $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a.$

17-07-2020 - 19:55

Cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn [0,1]. Chứng minh:

a) $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

b) $2(a^{3}+b^{3}+c^{3})\leq 3+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$


Giải các phương trình sau:

17-07-2020 - 19:23

1/ $\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3x^{2}-14x-8=0$

 

2/ $4\sqrt{x+3}+2\sqrt{2x+7}=(x+1)(x^{2}+4x+2)$


Chứng minh: ba điểm H, M, G thẳng hàng

17-07-2020 - 10:00

Cho M là 1 điểm bất kì trong ΔABCΔABC. Gọi A', B', C' lần lượt là giao điểm của AM, BM, CM với BC, AC, AB.

 

a/ Chứng minh rằng tổng MAAA+MBBB+MCCCMAAA+MBBB+MCCC không đổi khi M di chuyển.

 

b/ Gọi P, Q, R, H, G lần lượt là trọng tâm của các tam giác MBC, MAC, MAB, PQR, ABC. Chứng minh rằng ba điểm M, H, G thẳng hàng.

 

 

Cần giúp câu b) ạ :((