Thekingof2005

Tìm nghiệm dương của phương trình $3x^{2}-3x=\sqrt{\frac{4x+1}{12}}$

Cho nửa (O;R) và AB=2R. C và D là 2 điểm nằm trên nửa đường tròn sao cho C thuộc cung AD. Gọi M là giao điểm của AC và BD. N là giao điểm của AD và BC. I là trung điểm của MN.

Khi COD= 60 độ . Tìm max  S tam giác MCD theo R

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện $0\leq a,b,c\leq 1$. Tìm giá trị lớn nhất

P=(a-b)(b-c)(c-a)

Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) . Đường kính EF của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông góc với BC tại M ( FE cung nhỏ BC ) . Gọi I,J lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ E xuống AB và AC . H ,K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ F xuống AB và AC . a) chứng minh tứ giác CMJE nội tiếp b) chứng minh 3 điểm M, I , J thẳng hàng và IJ vuông góc với HK .

c) AF cắt BC tại D, đường tròn đi qua 3 điểm A,D,M cắt AB tại P, cắt AC tại Q. Gọi N là trung điểm của PQ

CM: MN//AD

p/s: chỉ cần chứng minh ý 2 câu b và câu c. có thể vẽ hình giúp em với ạ!

cho nửa đường tròn (O,R) đường kính AB . Điểm M thuộc nửa đường tròn . Gọi H là điểm chính giữa cung AM . Tia BH cắt AM tại I . Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A cắt BH tại K . Nối AH cắt BM tại E 1) CHứng minh ΔBAE là Δ cân 2) Chứng minh KH.KB=KE² 3) Tìm vị trí của M để ∠MKA=90 độ

Cho $0\leq a<b<c\leq 2$. Tìm min $P=\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}$

CMR:  10^30 -1 chia hết cho 31

Tìm số tự nhiên có 3 chữ số  xyz sao cho  căn bậc ba (xyz)= x+y+z   (xyz là số có ba chữ số nhé.)

Để ý cái điều kiện $x,y,z>1\Leftrightarrow x-1;y-1;z-1>0$.

Do đó để dễ chứng minh hơn, ta đặt $a=x-1;b=y-1;c=z-1\Rightarrow a,b,c>0;a+b+c\le 3$.

$B=\sum \frac{a+1}{b^2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{a^2 b^2 c^2}}$

$\geq 3\sqrt[3]{\frac{8\sqrt{abc}}{a^2b^2c^2}} =6\sqrt[3]{\frac{1}{abc}} $ $  \geq \frac{6}{\frac{a+b+c}{3}} \ge 6$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1\Leftrightarrow x=y=z=2$.

Đoạn này rút gọn tô đỏ bị sai thì phải??

$ \boxed{\text{Bài 152}} $  Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn   $x\geq \frac{1}{2};y\geq \frac{1}{3};z\geq 1; x+y+z\leq 3$. Tìm giá trị lớn nhất của 

$$A=\sqrt{2x-1}+\sqrt{3y-1}+\sqrt{z-1}$$

$ \boxed{\text{Bài 153}} $ Cho các số thực $x,y,z$ thoả mãn $x,y,z>1 ; x+y+z\leq 6$. Tìm giá trị nhỏ nhất của

$$B=\frac{x}{y^2-2y+1}+\frac{y}{z^2-2z+1}+\frac{z}{x^2-2x+1}$$

$\boxed{\text{Bài 54}}$ Cho ba số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $ a+b+c=1$. Chứng minh rằng

$$\frac{ab}{\sqrt{(1-c)^{3}(1+c)}} +\frac{bc}{\sqrt{(1-a)^{3}(1+a)}}+\frac{ca}{\sqrt{(1-b)^{3}(1+b)}} \leq \frac{3\sqrt{2}}{8}$$

Em xin đưa ra đáp án Bài 54:

$\frac{ab}{\sqrt{(1-c)^{3}(1+c)}}=\frac{ab}{(1-c)\sqrt{(1-c)(1+c)}}=\frac{ab}{(a+b)\sqrt{1-c^2}}=\frac{ab}{(a+b)\sqrt{(a+b+c)^2-c^2}}=\frac{ab}{(a+b)\sqrt{a^2+b^2+2(ab+bc+ca)}}$

$a^2+b^2+2(ab+bc+ca)\geq 2(ab+bc)+2(ab+ac) và a+b\geq 2\sqrt{ab}$

Suy ra $\frac{ab}{\sqrt{(1-c)^3(1+c)}}\leq \frac{1}{2}.\sqrt{\frac{ab}{2(ab+bc)+2(ab+ac)}}\leq \frac{1}{2}.\frac{1}{2\sqrt{2}}\sqrt{\frac{ab}{ab+bc}+\frac{ab}{ab+ac}}\doteq \frac{1}{4\sqrt{2}}\sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}$

Tương tự với 2 cái còn lại. 

$\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{b+c}+\frac{a}{b+a}}\leq \sqrt{3(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{b+a})} = \sqrt{3.3}= 3$

Mình xin chém bài Bài 58:

BĐT trên tương đương với 

$(x+y+z)^{3}+9xyz\geq 4(x+y+z)(xy+yz+xz)$

mà : $(x+y+z)^{3}+9xyz=(x^3+y^3+z^3+3xyz)+3\left [ (x+y)(y+z)(z+x)+xyz \right ]+3xyz\geq (x+y)xy+(y+z)yz+(z+x)zx+3xyz+3(x+y+z)(xy+yz+xz)=4(x+y+z)(xy+yz+xz)$

Dấu ''=" xảy ra khi $ x=y=z $. (ĐPCM)
 

Tại sao $x^3+y^3+z^3+3xyz\geq xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$

 

*Đây là BĐT Schur nhé em !!!

$ \boxed{\text{Bài 58}} $ Cho $ x,y,z>0 $. Chứng minh rằng

$$x^2+y^2+z^2+\frac{9xyz}{x+y+z}\geq 2(xy+yz+zx)$$

$\boxed{\text{Bài 54}}$ Cho ba số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $ a+b+c=1$. Chứng minh rằng

$$\frac{ab}{\sqrt{(1-c)^{3}(1+c)}} +\frac{bc}{\sqrt{(1-a)^{3}(1+a)}}+\frac{ca}{\sqrt{(1-b)^{3}(1+b)}} \leq \frac{3\sqrt{2}}{8}$$

$\boxed{\text{Bài 55}}$ Cho ba số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c\leq 1$. Chứng minh rằng

$$\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab(a+b)}+\frac{1}{bc(b+c)}+\frac{1}{ca(c+a)}\geq \frac{87}{2}$$ 

 

*Bạn vui lòng ghi đầy đủ để bài và đánh đúng số thứ tự của bài nhé!!!

Giải phương trình   $\sqrt{x^{2}+3x+6}+\sqrt{2x^{2}-1}=3x+1$

$\frac{x^{3}+5x^{2}+4x+2}{x^{2}+2x+3}=\sqrt{x^{2}+x+2}$