Duc91

Cho p là số nguyên tố. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $x,y,z,\omega$, với $0<\omega<p$ thoả mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}-\omega p=0$.

Tìm tất cả các cặp hàm số $f,g:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ thoả mãn: 

$f(x)+f(y)=g(x+y) \forall x,y\in \mathbb{Q}$.

Cho p là số nguyên tố có dạng 4k+1 (k là số tự nhiên). Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương a sao cho $a^{2}+1$ chia hết cho p.

Trong 1 buổi dạ hội mỗi người tham dự đều quen ít nhất 3 người quen. Chứng minh rằng: Có thể chọn ra 1 số chẵn người để xếp quanh 1 bàn tròn sao cho mỗi người ngồi giữa 2 người quen.

Trong hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H(2;1) và B(1;3);C(1;0). Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: