chuyenndu

$a^2+2bc+1=a^2+2bc+\frac{\sum a^2}{2}=a^2+bc+\frac{a^2+(b+c)^2}{2}\ge a^2+bc+ab+ac=(a+b)(a+c)$

$\Rightarrow \sum\frac{a^2}{a^2+2bc+1}\le \sum\frac{a^2}{(a+b)(a+c)}$

$\sum\frac{a^2}{(a+b)(a+c)}\le 1\Leftrightarrow 2abc\ge 0$

Walker's inequality

https://artofproblem...d_its_extension

$g(x)=\frac{f(x)}{e^{2022x}}$

g(0)=g(1)=0 nên tồn tại $c\in(0,1):g'(c)=0$

https://artofproblem...110614p28137326

bài 1   liên tục trong rời rạc.pdf   202.78K   27 Số lần tải

Bất đẳng thức cuối có vẻ bị sai rồi 

đúng với $\frac{2}{3}\le a\le 2$,giả sử a=max(a,b,c) là được

biến bằng nhau hoặc tại biên

đây là phân tích chứ k phải sol,mục đích để sử dụng đúng bdt

(a,2b,3c)=(x,y,z) => x+y+z=3

cần cm $\sum\frac{1}{x^2+y^2+2}\le \frac{3}{4}\Leftrightarrow \sum\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2+2}\ge \frac{3}{2}$

$\sum\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2+2}\ge \frac{(\sum\sqrt{x^2+y^2})^2}{\sum(x^2+y^2+2)}=\frac{\sum x^2+\sum\sqrt{(x^2+y^2)(x^2+z^2)}}{\sum x^2+3}$

$\sum\sqrt{(x^2+y^2)(x^2+z^2)}\ge\sum (x^2+yz)\Rightarrow$ dpcm

https://diendantoanh...cab-bc-ca-le-1/

tìm hàm $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn $f(x+y^3f(y))=y^4+f(x)$ với $x,y\in R$

tập hợp $\left \{ M:MA+MB=5\sqrt{2} \right \}$ là elip

C thuộc elip này nên viết được pt elip

tìm giao điểm elip với đt CD easy

bình phương gt $\Rightarrow a_{n+1}^2+a_{n+1}+a_n+\frac{1}{8(2n-1)}=...=a_2^2+a_2+a_1+\frac{1}{8}=8$

$\Rightarrow (a_{n+1}-2)(a_{n+1}+3)+a_n-2=\frac{-1}{8(2n-1)}$

quy nạp $\frac{-1}{8(2n-1)}\le a_n-2\le 0$

$a+b,b+c,c+a,a+b+c+n$ đều có dạng $p^k$

nếu $p>2$ thì vô lí vì $a+b,b+c,c+a$ không thể cùng lẻ $\Rightarrow p=2$

$\Rightarrow a+b=2^m,b+c=2^n,c+a=2^p,a+b+c+n=2^k\Rightarrow n+2^{m-1}+2^{n-1}+2^{p-1}=2^k$

cần CM với mỗi $n$ tồn tại nhiều nhất một bộ ba $(m',n',p')$ để $n+2^{m'}+2^{n'}+2^{p'}$ là lũy thừa của 2

hiển nhiên khi viết $n$ dưới dạng cơ số 2 (để ý vị trí số 0)

vd $n=\overline{10110}_{(2)}$ thì $n=2^5-2^3-2^0-2^0$

$n=\overline{100001}_{(2)}$ thì không tồn tại

cho 4 số thực a,b,c,d thỏa mãn ab+ac+ad+bc+bd+cd=0. CMR $\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}+\frac{d}{d^2+1}\ge -1$

IMO 1992

https://artofproblem...c6h24417p154338