vinhhop

Ta xét bài toán tổng quát :

Một hàm số $g$ được xác định trên tập số nguyên dương thỏa mãn:
$g(1)=1$
$\forall n\geq 1$ thì $g(n+1)=g(n)+1$ hay $g(n+1)=g(n)-1$
$\forall n\geq 1$, $g(3n)=g(n)$
$\exists k_a$ sao cho $g(k_a)=a$ (với $a\in\mathbb{N}^*$)
Tìm số $k_a$ nhỏ nhất.
 
Dễ thấy nếu $a=1$ thì $k_1=1$ (Từ đây trở xuống, số $k_a$ được hiểu là số nhỏ nhất có thể thỏa mãn $g(k_a)=a$)
Theo đề bài, $g(3)=g(1)=1$ và $g(n-1)=g(n)\pm 1\Rightarrow g(2)\leqslant 2$. Vậy $k_2=2$
$\left\{\begin{matrix}g(1)=1\\g(2)\leqslant 2 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(3)=1\\g(6)\leqslant 2 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(4)\leqslant 2\\g(5)\leqslant 3 \end{matrix}\right.\Rightarrow k_3=5$
$\left\{\begin{matrix}g(4)\leqslant 2\\g(5)\leqslant 3 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(12)\leqslant 2\\g(15)\leqslant 3 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(13)\leqslant 3\\g(14)\leqslant 4 \end{matrix}\right.\Rightarrow k_4=14$
$\left\{\begin{matrix}g(13)\leqslant 3\\g(14)\leqslant 4 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(39)\leqslant 3\\g(42)\leqslant 4 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}g(40)\leqslant 4\\g(41)\leqslant 5 \end{matrix}\right.\Rightarrow k_5=41$
..........................................................
..........................................................
Nhận xét :
$k_1=1$
$k_2=3k_1-1=3^1-1$
$k_3=3k_2-1=3^2-3^1-1$
$k_4=3k_3-1=3^3-3^2-3^1-1$ ; ...
$\Rightarrow k_a=3^{a-1}-(3^{a-2}+3^{a-3}+...+3+1)=3^{a-1}-\frac{3^{a-1}-1}{3-1}=\frac{3^{a-1}+1}{2}$
 
Cho $a=2001$, ta có đáp án bài toán đã cho là $k_{2001}=\frac{3^{2000}+1}{2}$.

Tại sao $k_3=5$ mà ko phải $k_3=1?$