Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Drain123

Đăng ký: 12-04-2020
Offline Đăng nhập: 17-04-2020 - 16:54
-----

#733450 [TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUY...

Gửi bởi Drain123 trong 12-04-2020 - 16:19

Anh xin góp vui 1 bài
$\boxed{\text{Bài 260}}$ Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$$P=\frac{a+b+1}{a^2+b^2+1}+\frac{b+c+1}{b^2+c^2+1}+\frac{c+a+1}{c^2+a^2+1}$$

Theo $\text{Cauchy-Schwarz } $
Thì
$$ P\leq \sum \frac{3}{a+b+1} \leq 3 <=> \sum \frac{a+b}{a+b+1} \geq 2 $$
Từ gt áp dụng $\text{Cau-Sw (engle form)}$
$ a+b+c\geq\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca} => ab+bc+ca \geq a+b+c$
Tiếp tục áp dụng CS -engle
$$LHS\geq\frac{4(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)+2(a+b+c)}\geq2 $$