Chinh Minh

Từ GT ta có $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1$

Đặt $(a,b,c)=(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})$

$ab+bc+ac=1$

$\sum \frac{1}{x^{2}+1}=\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+1}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+1}$$\geq \frac{3(a+b+c)^{2}}{4(a+b+c)^{2}}=\frac{3}{4}$

Giải phương trình: $\sqrt{x^2+12x+61}+\sqrt{x^2-14x+113}=\sqrt{338}$

Gợi í

Đưa về bình phương trong căn

Sao đó dùng bđt $2(a^{2}+b^{2})\geq (a+b)^{2}$

Lưu í điểm rơi là $x=-1$

Cụ thể

$RHS\sqrt{2}=26$

$LHS\sqrt{2}=\sqrt{2((x+6)^{2}+5^{2})}+\sqrt{2((7-x)^{2}+8^{2})}\geq x+11+15-x=26=RHS\sqrt{2}$

Cho phương trình $x^{2}-(m-1)x-m^{2}+m-2=0$ với m là tham số. Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình.Tìm m để  $Q=(\frac{x1}{x2})^{2}+(\frac{x2}{x1})^{3}$ Max

Biến đổi từ gt suy ra

$3(3^{x-1}-1)=2(2^{z-1}-2^{y-1}-1)$

Nhận xét ngoặc 2 là số lẻ, ngoặc 1 là số chẵn nên ko chia hết

suy ra 2 chia hết cho $3^{x-1}-1$

Xét ước suy ra x=2 thay vào tìm y và z

P/s chỉ là ý kiến của mình Sai r sorry 

Các bổ đề cần sử dụng 

$3(xy^{2}+yz^{2}+zx^{2})\leq (x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

$(a+b+c)^{2}\leq 3(a^2+b^2+c^2)$

Ta có

$\sum \frac{2a^{2}}{a+b^{2}}=\sum 2a-\sum \frac{2ab^{2}}{a+b^{2}}\geq \sum 2a-(\sum a\sqrt{b})$

Áp dụng bổ đề thì $3(\sum a\sqrt{b})\leq (a+b+c)(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\leq (a+b+c)\sqrt{3(a+b+c)}$

Đặt $t=a+b+c$ biến đổi tương đương bđt 

cuối cùng ta được $t\leq 3$ đúng

Lời giải bằng cách liên hợp hơi xâu nhưng chắc cg ổn ;-;

$\Leftrightarrow (x^{3}-8)-(\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{x+6}}-2)=0\Leftrightarrow (x-2)(x^{2}+2x+4)-\frac{x-2}{...}=0$

TH1 $x-2=0$ nên $x=2$

TH2 Ta thấy $...> 0$ nên phân thức 2 bé hơn 1 còn ngoặc 1 thì $(x+1)^{2}+3> 1$ nên ptvn

Ghép Bunhiacopxi đi bạn

Ví dụ $(a^{2}+1)(b^{2}+1)\geq (a+b)^{2}$

Sau đó nhân lại là ổn

viết rõ hơn dc ko

Sau khi đổi biến $a=\frac{1}{x}$ , $b=\frac{1}{y}$, $c=\frac{1}{z}$

Thì Vế trái bằng

$\sum \frac{b^{3}}{a}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{ab+bc+ac}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}=\sum \frac{1}{x^{2}}$

Cho 3 số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn $x+y+z=3$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $H=3xy+yz^{2}+zx^{2}-x^{2}y$

Cho m, n là các số nguyên dương lẻ sao cho $m+n\vdots 19$ và $m-n\vdots 18$ Chứng Minh $(m^{n}+n^{m})\vdots 38$

Cho $x,y,z>0$ thoả $x+y+z=\sqrt{2021}$

Tìm GTNN: $B=\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}.\left ( \frac{\sqrt{y+z}}{x}+\frac{\sqrt{z+x}}{y}+\frac{\sqrt{x+y}}{z} \right )$

B=$\sum (y+z)\frac{\sqrt{(x+y)(x+z)}}{x}$

Áp dụng BĐT Bunhia-coopxki vào $\sqrt{(x+y)(x+z)}\geq x+\sqrt{yz}$

$\Rightarrow B\geq \sum (y+z)\frac{x+\sqrt{yz}}{x}\geq 2(x+y+z)+\sum \frac{2yz}{x}$

Cosi là đc