Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


toanhocorg

Đăng ký: 25-06-2020
Offline Đăng nhập: Riêng tư
-----

#736636 Cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song trong không gian Oxyz

Gửi bởi toanhocorg trong 28-06-2020 - 20:14

Một trong những dạng toán cực quan trọng đó là tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng. Tuy nhiên, nhiều em không biết khoảng cách giữa hai mặt phẳng  trong không gian được xác định như thế nào và được tính như thế nào, công thức ra sao ? Tất cả các vấn đề trên sẽ được giải quyết trong bài viết này.

 

 

kho%E1%BA%A3ng-c%C3%A1ch-gi%E1%BB%AFa-2-

Cơ sở lý thuyết

Cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz+D = 0

 

Mặt phẳng (Q)//(P) và có phương trình (Q): Ax + By + Cz + E = 0

Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) bằng khoảng cách từ điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (P) đến mặt phẳng (Q). Ta thấy điểm $H\left( 0;0;\frac{-D}{C} \right)\in (P)$ suy ra:

$d\left( (P);(Q) \right)=d\left( H;(Q) \right)=\frac{\left| C.\frac{-D}{C}+E \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}=\frac{\left| D-E \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}$

Công thức tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:

\[d\left( {(P);(Q)} \right) = \frac{{\left| {D - E} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\]

Bài tập minh họa 

Bài tập 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):x + 2y - 2z - 6=0 và (Q): x + 2y - 2z + 3=0.$ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng

A. 1.

B. 3.

C. 9.

D. 6.

Hướng dẫn giải

Lấy điểm $A(0;0; - 3) \in (P)$

$ \Rightarrow d\left( {(P);(Q)} \right) = d\left( {A;(Q)} \right) = \frac{{\left| {0 + 2.0 - 2( - 3) - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }} = 3.$

 

Bài tập 2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng song song $(P):x + y + 3z + 1 = 0$ và $(Q):x + y + 3z + 5 = 0.$ Hãy tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng $(P)$ và $(Q).$

 
A. $d = \frac{{2\sqrt {11} }}{{11}}.$
 
B. $d = \frac{{4\sqrt {11} }}{{11}}.$
 
C. $d = 2\sqrt {11} .$
 
D. $d=11.$
 
Hướng dẫn giải
Chọn $M( – 1;0;0) \in (P)$ $ \Rightarrow d = d((P);(Q))$ $ = \frac{{| – 1 + 5|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {3^2}} }}$ $ = \frac{{4\sqrt {11} }}{{11}}.$
Chọn đáp án B.
Nhận xét: Có thể sử dụng kết quả ở mục A – dạng 2 để chọn nhanh đáp án.
 
Bài tập 3. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $(S)$ là mặt cầu bất kì tiếp xúc với hai mặt phẳng $(P):x + 2y + 2z + 1 = 0$ và $(Q):x + 2y + 2z + 7 = 0.$ Tính bán kính $R$ của mặt cầu $(S).$
 
A. $R=6.$
 
B. $R=2.$
 
C. $R=1.$
 
D. $R=3.$
Hướng dẫn giải
 
Do $(P)//(Q)$ $ \Rightarrow R = \frac{1}{2}d((P);(Q))$ $ = \frac{1}{2}.\frac{{|1 – 7|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 1.$
 
Chọn đáp án C.
 
Nhận xét: Mọi mặt cầu $(S)$ tiếp xúc đồng thời với mặt phẳng song song $(P)$, $(Q)$ đều có bán kính $R$ bằng nhau và $R = \frac{1}{2}d((P);(Q)).$



#736532 Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng

Gửi bởi toanhocorg trong 25-06-2020 - 09:45

Trong không gian Oxy, việc tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng nói chung là dễ hơn khi không có trục tọa độ. Để tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong Oxy ta sử dụng 1 công thức khá hay, bài viết này sẽ viết chi tiết và kèm ví dụ

 

Giả sử trong mặt phẳng toạ độ Oxy, khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng Δ: Ax + By + C=0 là \[\mathrm{d}(M,\Delta)=\dfrac{\big|Ax_0+By_0+C\big|}{\sqrt{A^2+B^2}}\]

kho%E1%BA%A3ng-c%C3%A1ch-t%E1%BB%AB-m%E1

Bài tập 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tính khoảng cách từ điểm M(3;-2) đến đường thẳng Δ: x + 7y + 1=0.
 
Hướng dẫn giải
\(\text{d}(M, \Delta)=\dfrac{|3+7.(-2)+1|}{\sqrt{1+49}}=\dfrac{|-10|}{\sqrt{50}}=\sqrt{2}.\)
 
Bài tập 2. Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), tính diện tích hình vuông có toạ độ một đỉnh là \(M(4;2)\) và phương trình một đường chéo là \(\Delta: x+2y+2=0.\)
 
Hướng dẫn giải
 Thế toạ độ điểm \(M\) vào đường thẳng \(\Delta\) ta thấy không thoả mãn. Do đó \(\Delta\) là đường chéo không đi qua \(M\). Gọi \(H\) là tâm hình vuông thì
\(MH=\text{d}(M,\Delta)=\dfrac{|4+4+2|}{\sqrt{1+4}}=2\sqrt{5}.\)
Độ dài đường chéo hình vuông là \(4\sqrt{5}.\)
Cạnh hình vuông là \(a=\dfrac{4\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=2\sqrt{10}.\)
Diện tích hình vuông là \(S=a^2=40.\)
Chú ý. Cạnh hình vuông = đường chéo chia cho \(\sqrt{2}.\)